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Haude Medina (2022). Ángulos. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/angulos/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 21 de mayo de 2024.
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Ángulos

Amplitud que se forma de la intersección de dos semirrectas.

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Tabla de contenidos:

Definición

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Un ángulo es la amplitud que se forma de la intersección de dos semirrectas que se unen en un punto en común. Las semirrectas que forman el ángulo se le conoce como lados del ángulo y el punto donde se unen es el vértice.

En la figura a continuación se muestra un ángulo formado por las semirrectas \overline{AB} y \overline{AC} y el vértice A.

Imagen de un ángulo.

Para nombrar un ángulo se puede hacer de diferentes maneras, pero siempre utilizando el símbolo \angle, que se lee “ángulo”.

En ocasiones, se usan letras griegas como α, β, Φ, entre otras. En la figura, el ángulo se puede denotar como \angle \alpha.

En otros casos, se hace con las letras mayúsculas que indican las semirrectas que lo conforman. De esta manera, continuando con el ejemplo de la figura anterior sería \angle BAC. La letra del centro corresponde al vértice del ángulo.

Clasificación

Los ángulos se pueden clasificar de diferentes maneras, ya sea por la medida de su amplitud y según su relación con otros ángulos, por su posición que ocupen por el vértice o la suma de entre ellos.

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Clasificación según su amplitud o medida

  • Ángulo nulo: Es aquel que tiene un valor único, mide 0°. Algunos refieren que tiene un significado conceptual por no existir, debido a que no llega a formar un ángulo. Imagen de un ángulo nulo
  • Ángulo agudo: son aquellos ángulos cuya amplitud es mayor a 0° y menor a 90°. Las semirrectas que lo conforman no llegan a ser perpendiculares. Tanto \angle \alpha, como \angle \beta, son menores a 90° pero mayores a 0°, siendo ambos ángulos agudos. Imagen de un ángulo agudo
  • Ángulo recto: las semirrectas que lo forman se unen de manera perpendicular formando un ángulo de 90°. Siendo de todos los ángulos el más fácil de reconocer. Gráficamente se representa con un cuadrado en el vértice del ángulo. Imagen de un ángulo recto
  • Ángulo obtuso: es el ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º. En este ángulo las semirrectas que lo conforman nunca son perpendiculares. Imagen de un ángulo obtuso.
  • Ángulo llano: en este tipo de ángulo las semirrectas que lo conforman están extendidas en direcciones opuestas formando un ángulo de 180°. Imagen de un ángulo llano
  • Ángulo completo: también conocido como ángulo de una vuelta, su medida es igual a 360°. No debe confundirse con el ángulo nulo, ya que las semirrectas que lo conforman están superpuestas. Este tipo de ángulo, se forma cuando se da un giro completo. Equivale a dos ángulos llanos o 4 ángulos rectos. Imagen de un ángulo completo

Clasificación según su posición

  • Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos si comparten el mismo vértice y un lado común. Tienen diferentes medidas. Imagen de ángulos consecutivos.
  • Ángulos adyacentes: son aquellos que tienen el vértice en común y un lado común, pero a diferencia de los ángulos consecutivos, se debe cumplir que sus otros dos lados sean dos semirrectas opuestas y su suma sea igual a 180°. Imagen de un ángulo adyacente.
  • Ángulos opuestos por el vértice: son ángulos que tienen el mismo vértice en común y los lados que lo forman son opuestos. Los ángulos que se forman son congruentes entre sí. Imagen de ángulos opuestos por el vértice.

Clasificación según respecto a la suma

  • Ángulos complementarios: se dice que dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a 90°. El complemento de un ángulo x es 90° – x. Imagen de ángulos complementarios.
  • Ángulos suplementarios: se dice que dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a 180°. El suplemento de un ángulo x es 180° – x. Imagen de ángulos suplementarios.

Otra clasificación divide los ángulos según su medida en comparación con un ángulo llano, de esta manera se tienen los ángulos convexos, que son aquello que miden menos de 180°. Dentro de esta clasificación están los ángulos Nulo, agudo, recto y obtuso.

El otro tipo son los ángulos son los cóncavos, cuya medida es mayor a 180°.

Medición

Como se mencionó en la definición de ángulo, la amplitud puede ser medida y para ello existen varios sistemas:

Grado sexagesimal

Es la medida de cada uno de los ángulos que resultan al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, de tal manera que el ángulo que corresponde a cada una de esas partes es un ángulo de 1°. Su símbolo es °.

Así, un ángulo recto mide 90° 90 grados sexagesimal), el ángulo llano tiene una amplitud o medida de 180 grados sexagesimal.

Para tener obtener medidas más exactas y menores a 1°, cada grado se divide en minutos y a su vez (1° = 60 minutos) y se sabe que 1 minuto es igual a 60 segundos.

De esta manera la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal, puede estar expresados en grados, minutos y segundos, por ejemplo; un ángulo puede medir 30° 40’ 55’’ (30 grados 40 minutos y 55 segundos).

Radianes

Es la medida del ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene la misma longitud que el radio. Su símbolo es rad (π)

Como el ángulo de un giro completo abarca toda la circunferencia, y la longitud de una circunferencia con radio r es 2πr, este ángulo mide 2π rad.

Entonces se pueden hacer equivalencias partiendo que 360° = 2π rad.  Un ángulo de 180° es igual a π rad.

Ejercicios

Ejercicio #1

Problema a resolver: dada las siguientes medidas de ángulos, indicar a que tipo pertenecen según la clasificación conocida.

Medida del ángulo Solución
55°
195°
89°
360°
115°

Ver solución

Medida del ángulo Solución
55° Ángulo agudo – convexo
195° Cóncavo
Nulo
89° Ángulo agudo – convexo
360° Completo
115° Obtuso – Convexo

Ejercicio #2

Problema a resolver: se tiene dos ángulos complementarios, donde α = 43° ¿Cuál es la medida de Φ?

Ver solución

Para que dos ángulos sean complementarios se debe cumplir que la suma de ambos debe ser igual a 90°, por lo que α + Φ = 90°, despejando Φ, se obtiene.

Φ = 90° – α

Φ = 90° – 43°

Φ = 47°

Ejercicio #3

Problema a resolver: en la siguiente figura se tiene que Φ es opuesto por el vértice a β, además Φ + α = 180°. Si α = 125°, cuál es la medida de los otros dos ángulos.

Imagen de ejercicio de ángulos.

Ver solución

Como se sabe que Φ + α = 180°, se despeja f para hallar su medida.

Φ = 180° – α = 180° – 125° = 55°

El valor de Φ = 55°.

Como Φ y β son opuestos por el vértice se conoce que tienen la misma medida por lo que β = 55°.

Las medidas de los tres ángulos son: α = 125°, Φ = 55°, β = 55°.

Bibliografía:
  • Iriondo, M. (s/f). Aprendiendo Matemáticas. Instituto Universitario Aeronáutico. Córdoba – Argentina.
  • Ministerio de Educación del Ecuador. (2016b). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.
  • Tussy, K., Gustafson, D., Koenig, D. (2013). Matemáticas básicas. Cengage Learning

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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