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Área de un círculo

Espacio que este ocupa en el plano bidimensional.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

El área de un círculo se refiere al espacio que este ocupa en el plano bidimensional.

Conocer las fórmulas y saber cómo hallar el área de un círculo es de gran utilidad, porque permite medir la región ocupada por un campo circular o una parcela.

Además, la fórmula para calcular el área del círculo, también puede ayudar a conocer su longitud, que no es más que su circunferencia.

Área de un círculo

Como cualquier figura plana, el área del círculo está expresada en unidades al cuadrado, metros al cuadrado (m²), centímetros al cuadrado (cm²), pulgadas al cuadrado (in²). Es decir, cualquier medida de longitud al cuadrado.

Esto es dado a que el área es una medida de dos dimensiones, que para el caso del círculo involucra el radio o diámetro y el perímetro.

Cálculo y fórmula

Todos los círculos tienen la misma forma y sus diferentes elementos están relacionados en un conjunto de fórmulas sencillas con la constante Pi (π).

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Cálculo del área de un circulo

Por lo tanto, si se conoce algunas de sus partes como el diámetro, el radio, la circunferencia o perímetro, es bastante fácil hallar el área del círculo. Esto quiere decir, que puede haber varias maneras de calcular el área.

Área del círculo conocido el radio (r)

El radio es una semirrecta que une cualquier punto de la circunferencia con el centro del círculo, como se muestra en la figura anterior.

La fórmula que relaciona el área del círculo con el radio es:

$A=\pi\ast r^2$

Donde,

“A” es el área del círculo, π (Pi) es una constante que equivale a 3,1416 aproximadamente y “r” es el radio.

Esta ecuación se puede entender si se compara el área del círculo con el área de un paralelogramo. Para hacer esta demostración, se debe saber que el perímetro del círculo es igual a 2πr.

Ahora, para comparar el círculo con un paralelogramo es necesario dividir el círculo en varias partes iguales y luego estas partes se organizan de manera horizontal.

Los sectores de color amarillo corresponden a una mitad del círculo y los azules a la otra mitad y a medida que se divida el círculo en una mayor cantidad de sectores y se organicen de manera horizontal, estos se verán como un paralelogramo.

Finalmente, se puede establecer la relación que el área del círculo es igual al área del paralelogramo.

Para esto, se conoce que el área de un paralelogramo es igual a la base por la altura $A=b\ast h$ , donde la altura del paralelogramo es igual al radio (r) del círculo, en cuanto a la base corresponderá a la mitad de la circunferencia $b=\frac{1}{2}2\pi r=\ \pi r$ .

$h\ =\ r\ \ \ y\ \ b\ \frac{1}{2}\pi r$

Entonces el área del paralelogramo será:

$A=b\ast h$

$A=\pi r\ast r\rightarrow A=\pi r^2$

Por lo tanto, el área del paralelogramo es πr² que es igual al área del círculo y esta ecuación calcula el área de cualquier círculo.

Área del círculo conocido el diámetro (D)

El diámetro del círculo es la semirrecta que une dos puntos opuestos de la circunferencia pasando por el centro del círculo y es igual a dos veces el radio D = 2r.

Conocido el diámetro el área del círculo se calcula con la siguiente fórmula:

$A=\pi\left(\frac{D^2}{4}\right)$

Esta fórmula se obtiene de la siguiente manera:

De la fórmula del diámetro D = 2r, se puede despejar el radio: $r=\frac{D}{2}$

Por lo tanto, si el área es: $A=\pi r^2$ , sustituyendo el valor anterior del radio

$A=\pi\left(\frac{D}{2}\right)^2 \Rightarrow \ A=\pi\frac{D^2}{4}$

Área del círculo conocido la circunferencia (C)

La circunferencia no es otra cosa que el perímetro del círculo, la manera de hallar el área del círculo en función de la circunferencia es

$A=\frac{C^2}{4\pi}$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: un círculo tiene un radio de 8 pulgadas, hallar el área.

Ver solución

La fórmula que relaciona el radio con el área del círculo es $A=\pi\ast r^2$ ,sustituyendo el valor dado del radio,

$A=3,1416\ast8^2$

$A=3,1416\ast64=\ 201,06\ {pulgadas}^2$

Conocido el radio el área del círculo es de 201,06 pulgadas².

Ejercicio #2

Problema a resolver: un complejo habitacional tiene una forma circular con un diámetro 1,5 kilómetros, ¿Cuál es el área que ocupa el complejo habitacional?

Ver solución

Al tener forma circular el complejo habitacional se puede asumir que es de la siguiente manera, donde el área se puede hallar con la ecuación $A=\pi\frac{D^2}{4}$ .

Sustituyendo el valor del diámetro se obtiene:

$A=(3,1416)\frac{{(1,5)}^2}{4}$

$A=\left(3,1416\right)\frac{2,25}{4}=3,1416\ast0,5625$

$A=1,176\ {km}^2\$

El área del complejo habitacional es de 1,176 km²

Ejercicio #3

Hallar el área del círculo si se conoce que su perímetro es de 300 cm.

Ver solución

El perímetro del círculo se sabe que es la circunferencia y la fórmula que relaciona el área con la circunferencia es $A=\frac{C^2}{4\pi}$ , sustituyendo el valor del perímetro se tiene:

$A=\frac{{(300)}^2}{4(3,1426)}=\frac{90000}{12,5664}=7162\ {cm}^2$

El área del círculo es de 7162 cm².

Bibliografía:
Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 7° grado. Libro del estudiante. EDINUN Ediciones Nacionales Unidas. Tussy, K., Gustafson, D., Koenig, D. (2013). Matemáticas básicas. Cengage Learning.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Área de un círculo. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/area-de-un-circulo/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 11 de septiembre de 2024.

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