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Geometría

Área de un trapecio

Cantidad de espacio que ocupa en el plano bidimensional y que se encuentra delimitada por sus cuatro lados.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

El área de un trapecio es la cantidad de espacio que ocupa en el plano bidimensional y que se encuentra delimitada por sus cuatro lados.

Para hallar su área, se puede se puede considerar el trapecio ABCD de la representación gráfica. Donde el lado $\overline{AD}$ corresponde a la base menor (b) y el lado del trapecio $\overline{BC}$ es la base mayor (B) y la altura h es la longitud del segmento entre $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ , entonces el área se expresa como:

$A=\frac{b+B}{2}\ast h$

Entonces se define el área de un trapecio cualquiera como la mitad de la suma de sus bases (mayor y menor), multiplicada por la altura.

Cálculo

La manera más conocida para calcular el área de un trapecio cualquiera, ya sea isósceles, escaleno o rectángulo es en función de la longitud de sus bases (base menor y mayor) y de la medida de la altura.

Sin embargo, dependiendo de los datos iniciales conocidos y del tipo de trapecio, su área se puede calcular usando varias fórmulas.

Área del trapecio conocida las bases y la altura

Este método es directo, depende básicamente de la longitud de los lados paralelos y la altura del trapecio.

$A=\frac{b+B}{2}\ast h$

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Paso 1: se debe conocer las medidas del trapecio dado, es decir, la longitud de los lados paralelos (bases) y de la altura.
Paso 2: se suman las longitudes de las bases.
Paso 3: multiplicar el resultado de la suma de las bases por la altura del trapecio.
Paso 4: por último, dividir el valor calculado anteriormente entre 2 para obtener la respuesta final.

Para un trapecio rectángulo, uno de sus lados no paralelos coincide con la altura del trapecio.

Área de un trapecio rectángulo

Área del trapecio conocidas las diagonales y el ángulo entre ellas

El área del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman. Mediante la fórmula:

$A=\frac{D_1\ast D_2}{2}\ast\sin{\alpha}=\frac{D_1\ast D_2}{2}\ast\sin{\beta}$

Los ángulos α y β son iguales por lo que la fórmula se puede expresar como:

$A=\frac{D_1\ast D_2}{2}\ast\sin{\alpha}$

Si el trapecio es rectángulo la fórmula se simplifica a $A=\frac{D_1 \ast D_2}{2}$ , debido a que entre las diagonales se forma un ángulo recto y el sen(90°) = 1.

Área de un trapecio

Área del trapecio conocidos sus cuatro lados

La fórmula a utiliza para hallar el área de un trapecio conocida la longitud de sus cuatro lados es:

$A=\frac{a+b}{2}\ast\sqrt{c^2-\left[\frac{c^2-d^2+{(b-a)}^2}{2\ast(b-a)}\right]^2}$

Cuando se trata de un trapecio isósceles, es decir, que tiene sus lados no paralelos congruentes la fórmula se puede simplificar de la manera siguiente:

$A=\frac{a+b}{2}\ast\sqrt{c^2-\frac{{(b-a)}^2}{4}}$

Área del trapecio conocida la base media y la altura

Primero se debe saber que la base media de un trapecio es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos, como se muestra en la figura.

La base media (m) es igual a la mitad de la suma de la base mayor (B) y la base menor (b), se halla con la fórmula: $m=\frac{B+b}{2}$ .

Por lo tanto; para hallar el área de un trapecio conocida la longitud de la altura y la base media es:

$A=m \ast h$

Ejercicios de ejemplo

Ejercicio #1

Hallar el área de un trapecio cuyas base mayor y menor miden es de 25 cm y 19 cm respectivamente y su altura es de 16 cm.

Ver solución

Como se conocen la longitud de las bases y la altura se utiliza la fórmula:

$A=\frac{b+B}{2}\ast h=\frac{19+25}{2}\ast16$

$A=\frac{44}{2}\ast16=\frac{704}{2}$

$A=352\ {cm}^2\$

El área del trapecio es de 352 cm².

Ejercicio #2

El área de un trapezoide es de 108 pulgadas². Si las longitudes de los dos lados paralelos del trapezoide son 12 pulgadas y 10 pulgadas, encuentra la altura del trapezoide.

Ver solución

De la fórmula del área del trapecio en función de las bases y la altura se puede despejar la altura.

$A=\frac{b+B}{2}\ast h$

$108=\frac{10+12}{2}\ast h\ \rightarrow108=\frac{22}{2}\ast h\rightarrow108=11\ast h$

$h=\frac{108}{11}=9,82\ pulgadas$

La altura del trapecio es de 9,82 pulgadas.

Ejercicio #3

Se tiene un trapecio cuyas medidas se muestran en la figura. Hallar el área del trapecio.

Ejercicio de área de un trapecio

Ver solución

El trapecio de la figura por sus medidas se trata de un trapecio isósceles y conocida la longitud de todos sus lados se aplicará la fórmula:

$A=\frac{a+b}{2}\ast\sqrt{c^2-\frac{\left(b-a\right)^2}{4}}$

$A=\frac{26+34}{2}\ast\sqrt{{16}^2-\frac{\left(34-26\right)^2}{4}=}30\ast\sqrt{256-\frac{64}{4}}$

$A=30\ast\sqrt{256-16}=30\ast15,5$

$A=465\ {cm}^2$

El área del trapecio isósceles conocida la longitud de sus lados es de aproximadamente 465 cm².

Bibliografía:
Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones. Tussy, K., Gustafson, D., Koenig, D. (2013). Matemáticas básicas. Cengage Learning.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Área de un trapecio. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/area-de-un-trapecio/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 16 de septiembre de 2024.

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