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Geometría

Área de un triángulo

Espacio cerrado en un plano bidimensional por los tres lados de cualquier triángulo.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

El área de un triángulo es el espacio cerrado en un plano bidimensional por los tres lados de cualquier triángulo.

De manera general, el área se define como la región ocupada dentro del límite de la figura geométrica plana, cuya medida se expresa en unidades cuadradas, siendo la unidad estándar los metros cuadrados (m²).

Para todo triángulo, sin importar su tipo, el área se puede hallar de diferentes maneras, esto dependerá de los datos o información que se conozca del triángulo.

La fórmula más conocida para hallar el área de un triángulo viene dada por:

$A= (b*h)/2$

Donde:

A: es el área
b: es la medida de la base del triángulo
h: es la altura del triángulo

Elementos de un triángulo.

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Otra manera de calcular el área de un triángulo es mediante las funciones trigonométricas, seno, coseno, tangente y sus inversas, cuando se conoce dos lados y el ángulo que se forma entre ellos.

La fórmula de Herón se puede utilizar cuando se conocen las longitudes de los lados del triángulo.

Cada una de estos métodos toman características particulares dependiendo del tipo de triángulo en estudio, como se explicará a continuación.

Área de un triángulo rectángulo

El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo igual a 90° o ángulo recto. Para hallar el área se hace utilizando la fórmula general: $A= (b * h)/2$ . Para este caso en particular b, h son los catetos.

En el caso que la altura del triángulo rectángulo se trace desde el ángulo recto se puede relacionar por el teorema de la altura,

$\frac{n}{h} = \frac{h}{m} \Rightarrow h^2 = n*m \Rightarrow h=\sqrt{n*m}$

quedando la fórmula de la manera siguiente:

$A= \frac{b*\sqrt{n*m}}{2}$

Área de un triángulo rectángulo

Mediante la utilización del método de Herón, conocido al menos dos lados se puede calcular el área:

$A=\sqrt{s*(s-a)*(s-b)*(s-c)}$

Donde:

A: es el área del triángulo.
a, b, c: son las medidas de los lados del triángulo.
s: es el semiperímetro del triángulo $s=\frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}$ .

Área de un triángulo equilátero

El triángulo equilátero por tener sus tres lados iguales la altura es igual a $h = l\frac{\sqrt{3}}{2}$ , por lo que la fórmula general del área queda como: $A=l^2 * \frac{\sqrt{3}}{4}$ , donde l, es cualquiera de los lados del triángulo equilátero, ya que todos tienen la misma longitud.

En cuanto a la ecuación del método de Heron, se puede simplificar ya que los lados tienen la misma medida, quedando como:

$A=\frac{\sqrt{3}l^2}{4}$ , donde «l» es la medida del lado

Área de un triángulo equilátero

Área de un triángulo isósceles

El triángulo isósceles, es un tipo de triángulo que tiene dos lados de igual longitud y dos ángulos congruentes.

Imagen de un área de un triángulo isósceles

El área del triángulo Isósceles, se halla multiplicando la base del triángulo por la altura dividido entre dos, $A=\frac{b*h}{2}$ , como se conoce la, sin embargo; si se desconoce la medida de la altura la fórmula a utilizar queda de la manera siguiente:

$A=\frac{b*\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}}{2}$

Según el método de Herón, al simplificar la fórmula conocida, debido a los dos lados congruentes del triángulo isósceles se obtiene:

$A=\frac{c}{4}\sqrt{4a^2-c^2}$

Área de un triángulo escaleno

Un triángulo escaleno, es un tipo de triángulo que tiene sus tres lados y ángulos de diferente medida.

Por tener sus tres lados y ángulos diferentes, las fórmulas conocidas para hallar el área se utilizan en su forma original.

$A=\frac{b * h}{2}$ , conocida la base (b) y altura (h)

Y mediante el método de Herón $A=\sqrt{s\ast\left(s-a\right)\ast\left(s-b\right)\ast(s-c)}$

el semiperímetro del triángulo se halla: $s=\frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}$

Área de un triángulo por funciones trigonométricas

Para cualquier tipo de triángulo se pueden utilizar las razones trigonométricas, conociendo la medida de dos de sus lados y la amplitud de uno de sus ángulos.

Supóngase el triángulo con medidas de sus lados representados por a, b, c, con ángulos A, B, C, las fórmulas para hallar el área en función de las razones trigonométricas son:

Área de un triángulo por funciones trigonométricas

$A=\frac{a\ \ast\ b\ \ast\ \sin{C}\ }{2}$
$A=\frac{a\ \ast\ c\ \ast\ \sin{B}\ }{2}$
$A=\frac{b\ast\ c\ \ast\ \sin{A}\ }{2}$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: halla el área de un triángulo equilátero cuyos lados tienen una longitud de 4 m.

Ver solución

Por ser un triángulo equilátero la medida de cada uno de sus tres lados es de 4 mts. Por tanto, se puede utilizar tanto la fórmula general del área como el método de Herón.

$A=l^2\ast\frac{\sqrt3}{4}$

$A=4^2\ast\frac{\sqrt3}{4}=16\ast\frac{1,73}{4}$

$A=6,92\ m^2$

El área de un triángulo equilátero es $A=6,92\ m^2$ .

Ejercicio #2

Problema a resolver: cuál es el área de un triángulo cuya base tiene una longitud de 12 cm. y dos lados de medida 14 cm. Aplicar el método de Herón.

Ver solución

Según los datos conocidos se deduce que es un triángulo isósceles, por lo que la fórmula del método de Herón para hallar el área es:

$A=\frac{c}{4}\sqrt{4a^2-c^2}$

$A=\frac{12}{4}\sqrt{4({14)}^2-\left(12\right)^2}=3\ast\sqrt{4\left(196\right)-144}$

$A=3\ast\sqrt{784-144}=3\ast\sqrt{640}=3\ast25,30$

$A=75,90\ {cm}^2$

El área del triángulo isósceles es $A=75,90\ cm^2$ .

Ejercicio #3

Problema a resolver: se tiene un triángulo con un ángulo de amplitud de 50° y lados de 10 cm. y 18 cm. Hallar el área.

Ver solución

Como se conoce la medida de dos de sus lados y un ángulo se puede utilizar las razones trigonométricas.

Área de un triángulo - ejercicio

$A=\frac{a\ \ast\ c\ \ast\ \sin{B}\ }{2}=\frac{10\ast18\ast\sin{\left(50\right)}}{2}$

$A=\frac{180\ast0,77}{2}=\frac{138,6}{2}$

$A=69,3\ {cm}^2$

El área del triángulo es de $A=69,3\ {cm}^2$

Bibliografía:
Almaguer, G. (2008). Matemáticas 2. Editorial Limusa. Briones, L. (2010). Geometría secuencial para la educación básica. Universidad de Chile. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones. Zahner, B. (2013). Trigonometría del triángulo rectángulo. Editorial CK-12.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Área de un triángulo. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/area-de-un-triangulo/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 14 de septiembre de 2024.

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