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Haude Medina (2022). Binomio al cuadrado. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/binomio-al-cuadrado/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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Binomio al cuadrado

Polinomio de dos términos que se encuentra elevado a la potencia de dos.

5m
·
Tabla de contenidos:

Definición

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Un binomio al cuadrado es un polinomio de dos términos que se encuentra elevado a la potencia de dos. Es de la forma siguiente:

(a ± b)²

Es también llamado cuadrado de un binomio, donde cada término del binomio puede representar una suma o resta. La siguiente expresión muestra lo que es un ejemplo de binomio al cuadrado.

Ejemplo de binomio al cuadrado

Se puede notar que 5x + 3y es un binomio donde sus términos están conectado por el signo (+). Según la definición dada anteriormente, el binomio debe estar elevado a la segunda potencia para formar un binomio al cuadrado.

Cuando se tienen dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la suma binomial por sí misma.

Por lo tanto, el cuadrado de un binomio resulta de la multiplicación del binomio por sí mismo.

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Ejemplo de binomio al cuadrado

Este tipo de expresión es uno de los productos notables más conocidos y que siguen un patrón fijo para su resolución sin necesidad de desarrollar el proceso de multiplicaciones sucesivas para simplificar.

Fórmula para calcular el binomio al cuadrado

Como se mencionó existen fórmulas ya establecidas que permiten resolver un binomio al cuadrado, sin necesidad de tener que realizar la multiplicación término a término.

A continuación, se explica la fórmula para hallar el binomio cuadrado de una suma y de una resta.

Binomio al cuadrado de una suma

La regla para el cuadrado de un binomio se obtiene sumando algebraicamente el cuadrado del primer término, por el doble producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término.

Binomio al cuadrado en la suma

Esta regla resulta de aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.  Ahora, se realiza la comprobación para comprender de dónde proviene la fórmula dada.

El primer término del binomio es “a” y el segundo término es “b”, entonces se tiene:

Binomio al cuadrado de la suma resolución

La multiplicación de (a*a) = a2, luego se suman los términos semejantes (ab) + (ab) resultando 2ab y por último (b*b) es igual a b2. Organizando los términos se obtiene:

Resolución del binomio al cuadrado de la su,a

Este resultado siempre conserva la misma estructura.

Binomio al cuadrado de una resta

La regla para resolver la diferencia de un binomio al cuadrado es similar al de la suma del binomio al cuadrado, pero en este caso se debe considerar el signo negativo (-). El patrón resultante es:

Binomio al cuadrado de una resta

Para comprobar esta regla se tiene:

Resolución del binomio al cuadrado de una resta

El primer término al cuadrado es (a*a) = a2, al multiplicar los términos por (-b) también se debe multiplicar el signo, por lo tanto (a)*(-b) = -ab, y toda potencia negativa elevada a un exponente par da como resultado un número positivo, por lo que (-b*-b) = (-b)2 = b2. Entonces se tiene que:

Resolución del binomio al cuadrado de una resta

Esto se lee como el cuadrado del primer término, menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos

Algunos ejemplos de binomio al cuadrado son:

(7x + 12)2 (2a3 + b)2 (mn3 – 5n)2
(8w – z2)2 (11y + z)2 (25x2y – wz3)2

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: expresar cada multiplicación de binomio en forma de binomio al cuadrado.

  1. (a + 3) * (a + 3)
  2. (3a – 2b) * (3a – 2b)
  3. (2y2 – 6z) * (2y2 – 6z)
  4. (11m + 5n) * (11m – 5n)

Ver solución

  1. (a + 3) * (a + 3) = (a + 3)2
  2. (3a – 2b) * (3a – 2b) = (3a – 2b)2
  3. (2y2 – 6z) * (2y2 – 6z) = (2y2 – 6z)2
  4. (11m + 5n) * (11m – 5n) = este caso no es de la forma del binomio cuadrado, es otro tipo de producto notable.

Ejercicio #2

Problema a resolver: aplicar las reglas de binomio al cuadrado según corresponda para cada caso.

  1. (6m – 2t)2
  2. (2xy2 – 6z)2
  3.  \left(\frac{1}{2}q+3\right)^2

Ver solución

Punto a)

(6m – 2t)2

Primer término al cuadrado: (6m)2 = 36m2

Dos veces el primer término por el segundo: 2(6m*(-2t)) = – 24mt

El segundo término al cuadrado: (-2t)2 = 4t2

(6m – 2t)2 = 36m2 – 24mt + 4t2

Punto b)

(2xy2 – 6z)2

Primer término al cuadrado: (2xy2)2 = 4x2y4 (se eleva al cuadrado cada factor del término)

Dos veces el primer término por el segundo: 2(2xy2 *(–6z)) = – 24xy2z

El segundo término al cuadrado: (-6z)2 = 36z2

(2xy2 – 6z)2 = 4x2y4 – 24xy2z + 36z2

Punto c)

\left(\frac{1}{2}q+3\right)^2

Primer término al cuadrado: \left(\frac{1}{2}q\right)^2=\frac{1}{4}q^2

Dos veces el primer término por el segundo: 2\left(\frac{1}{2}q\right)\left(3\right)=3q

El segundo término al cuadrado: (3)2 = 9

\left(\frac{1}{2}q+3\right)^2=\frac{q^2}{4}+3q+9

Bibliografía:
  • Jiménez, R. (2008). Algebra. Pearson Educación de México, S.A
  • Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Cordoba. Universidad Jesuita.
  • Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Binomio al cuadrado. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/binomio-al-cuadrado/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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