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Haude Medina (2022). Binomio al cubo. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/binomio-al-cubo/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 27 de mayo de 2024.
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Binomio al cubo

Polinomio de dos términos que se encuentra elevado a la potencia de 3.

5m
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Tabla de contenidos:

Definición

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Un binomio al cubo, es un polinomio de dos términos que se encuentra elevado a la potencia de 3, el cual indica el producto de tres binomios exactamente iguales.

Es una expresión algebraica de la forma:

(a ± b)3

Donde “a” y “b” son términos del binomio que pueden estar sumando o restando.

Como se mencionó, el cubo de un binomio se obtiene de multiplicar un mismo binomio tres veces por sí mismo, por lo tanto, la expresión (a ± b)3 es lo mismo que:

(a ± b) * (a ± b) * (a ± b) = (a ± b)3

Simplemente se simplifica el producto utilizando las diferentes reglas matemáticas conocidas (artificios matemáticos) para luego aplicar las fórmulas establecidas para su resolución.

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Entonces, el cubo de un binomio, es un tipo de producto notable que sigue un patrón fijo para su resolución sin necesidad de desarrollar el proceso de multiplicaciones sucesivas para simplificar.

Resolución

En álgebra hay patrones ya establecidos que permiten la resolución de diferentes tipos de expresiones como la del binomio al cubo sin la necesidad de realizar la multiplicación término a término.

A continuación, se explica la manera de resolver el cubo de un binomio en sus dos tipos, ya sea cuando los términos se encuentran separados por el singo (+) o (-).

Binomio al cubo de una suma

La expresión algebraica de la suma de un binomio al cubo se puede resolver aplicando la fórmula siguiente:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Para aplicar la regla primero se debe identificar el primer término que es “a” y el segundo término “b”, entonces el cubo de un binomio es equivalente a:

“Elevar el primer término al cubo, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término”

Este patrón se obtiene de aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación. Ahora, se realiza la comprobación para comprender de dónde proviene la fórmula dada.

  1. Expandir la expresión (a + b)3 que es igual a: (a + b)(a + b)(a + b)


    (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)

  2. Multiplicar los dos primeros binomios (a + b)(a + b) por el método de distribución y dejar el tercer binomio como está

    (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

    Al combinar los términos semejantes se obtiene como resultado:

    (a + b)3 = (a2 + 2ab + b2)(a + b)

  3. Multiplicar por el método de distribución el resultado obtenido del paso anterior con el tercer binomio.

    (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3

    Juntando los términos semejantes da como solución:

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Es necesario destacar que al aplicar la fórmula para resolver el cubo de la suma un binomio se obtiene:

  • Un polinomio resultante de 4 términos.
  • El exponente de “a” disminuye en cada término, mientras que el exponente de “b” aumente en cada término.
  • Los términos intermedios contienen un factor de 3.

Binomio al cubo de una resta

La resta del cubo de un binomio es del tipo (a – b)3 y su fórmula para su resolución sigue un patrón similar al caso anterior, pero los signos del segundo y el cuarto términos son negativos.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

El cubo de la diferencia de dos términos equivale a:

“Elevar el primer término al cubo, menos tres veces el cuadrado del primer término por el segundo término, más tres veces el primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término”

El proceso para verificar de donde se obtiene la fórmula indicada para la resolución de la resta un binomio al cubo, es aplicando el método de distribución de la multiplicación, de la misma manera como en el caso de la adición de un binomio al cubo, pero considerando el signo (-).

Ejemplos

Algunos ejemplos del binomio al cubo son los que se muestran:

(2y + 5)3 (2a3 + 3b)3 (3n3 + (-5n))3
(8w – z2)3 (1y – z)3 (a2 – 1)3

Ejercicios resueltos

Utilizar las reglas conocidas del binomio al cubo para resolver los siguientes casos.

(2y + 5)3

Ver solución

(2y + 5)corresponde a la suma de un binomio al cubo de la forma:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Lo primero es determinar cuál es el término “a” y el término “b”

“a” = 2y          “b” = 5

Aplicando los pasos se tiene:

  • Primer término elevado al cubo: (2y)3 = 8y3
  • Se calcula el triple del cuadrado del primer término por el segundo: 3(2y)2(5) = 60y2
  • Se multiplica el triple del primer término por el segundo al cuadrado: 3(2y)(52) = 150y
  • Se eleva el segundo término al cubo: (5)3 = 125

Reorganizando los resultados obtenidos:

(2y + 5)3 = 8y3 + 60y2 + 150y + 125

(3a2 – b)3

Ver solución

 

(3a2-b)3 → (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

  • Primer término elevado al cubo. Nótese que la variable está elevada a cuadrado, en este caso aplicando regla de potenciación se multiplican los exponentes: (3a2)3 = 27a6
  • Se calcula el triple del cuadrado del primer término por el segundo: 3(3a2)2 (b)=27a4 b
  • Se multiplica el triple del primer término por el segundo al cuadrado: 3(3a2 ) (b)2=9a2 b2
  • Se eleva el segundo término al cubo: (b)3 = b3

Reorganizando los resultados obtenidos:

(3a2 – b)3 = 27a6 – 27a4b + 9a2 b2 – b3

Bibliografía:
  • Jiménez, R. (2008). Algebra. Pearson Educación de México, S.A
  • Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Córdoba. Universidad Jesuita.
  • Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Binomio al cubo. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/binomio-al-cubo/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 27 de mayo de 2024.
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