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Fecha de publicación

octubre 5, 2022

Última edición

mayo 2, 2024

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5 minutos

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Haude Medina (2022). Catetos. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/catetos/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 28 de mayo de 2024.
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Contenidos

Catetos

Lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto.

5m
·
Tabla de contenidos:

Definición

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Los catetos son los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto.

También son los lados más cortos del triángulo rectángulo y reciben el nombre de catetos por el teorema de Pitágoras.

Por esta razón cada triángulo rectángulo tiene dos catetos.

Los lados adyacentes al ángulo recto reciben el nombre de catetos, para la figura corresponde a los segmentos de recta \ \overline{QO}\ , \overline{OP}.

El otro lado recibe el nombre de hipotenusa. Es opuesta al ángulo recto y es el lado más largo de los tres segmentos de recta que conforman el triángulo.

Los catetos se clasifican en dos tipos “cateto opuesto” y “cateto adyacente” y se definen según el ángulo agudo que se tome como referencia.

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  • Cateto adyacente: es el lado contiguo al ángulo agudo tomado como referencia.
  • Cateto 0puesto: es el lado opuesto al ángulo agudo tomado como referencia

En las figuras de arriba se observa que el cateto recibe el nombre dependiendo del ángulo de referencia β o λ.

Teorema del cateto

El “teorema de la media geométrica de los catetos” define la relación entre la longitud de cada uno de los catetos con respecto a los segmentos proyectados por ellos sobre la hipotenusa.

El enunciado del Teorema del cateto es el siguiente:

“El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa”.

Siendo las fórmulas de la relación:

a=\sqrt{m\ast c}\ \ \ y\ \ b=\sqrt{n\ast c}

Esta relación se obtiene de la siguiente forma:

Si se tiene el triángulo rectángulo ΔOPQ, cuyos catetos “a” es el cateto mayor, “b” es el cateto menor y “c” la hipotenusa.

Al proyectar el lado “a” sobre la hipotenusa se obtiene el segmento de color azul “m” en la hipotenusa.

Por lo tanto, “n” es la proyección del cateto “b” sobre la hipotenusa. Ambas proyecciones están separadas por la altura del triángulo rectángulo “h”.

Al dividir el ΔOPQ, se obtienen dos triángulos semejantes más pequeños donde sus lados son proporcionales y guardan la misma relación.

Por tal razón, los dos triángulos pequeños y el triángulo original son iguales y se da la relación:

\frac{c}{a}=\frac{a}{m}\Longrightarrow a^2=m\ast c\Longrightarrow a=\sqrt{m\ast c}

\frac{c}{b}=\frac{b}{n}\Longrightarrow b^2=n\ast c\Longrightarrow b=\sqrt{n\ast c}

Estas fórmulas permiten calcular la longitud de los catetos conociendo sus proyecciones o hallar un cateto si se sabe la medida de un cateto y la hipotenusa.

Catetos y teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es un enunciado que relaciona la longitud de los catetos y la hipotenusa.

Permite calcular la medida de la hipotenusa, conociendo la longitud de sus catetos o de forma general cualquiera de los lados del triángulo rectángulo.

El teorema refiere que “el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los catetos elevados al cuadrado”. La fórmula es:

c^2=a^2+b^2
c=\sqrt{a^2+b^2}
Siendo:

“a”, “b: la medida de cada uno de los catetos.
“c”: la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Para conocer uno de los catetos conociendo la longitud de la hipotenusa y el otro cateto,

Se debe despejar de la fórmula anterior el cateto a hallar “a” o “b”, según sea el caso.

c^2=a^2+b^2\longrightarrow a^2=c^2-b^2

a=\sqrt{c^2-b^2}

c^2=a^2+b^2\longrightarrow b^2=c^2-a^2

b=\sqrt{c^2-a^2}

Ejercicios de ejemplo

Ejercicio #1

Hallar la medida del cateto “a” del triángulo de la figura

Ver solución

Del triángulo se conoce la medida de la hipotenusa y uno de los catetos.

Para encontrar la longitud del cateto a se aplica la fórmula:

a=\sqrt{c^2-b}

a=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=\sqrt{169-144}

a=\sqrt{25}=5\ pulgadas

La medida del cateto “a” es de 5 pulgadas

Ejercicio #2

La hipotenusa de un triángulo rectángulo es de 25 centímetros y la proyección de uno de sus catetos es de 4 centímetros. Hallar la longitud del cateto.

Ver solución

El cateto del cual se conoce su proyección se designará con la letra “a”, su proyección con la letra “m” y la hipotenusa con la letra “c”.

c = 25 cm.

m = 4 cm.

Aplicando la fórmula conocida del teorema del cateto:

a=\sqrt{m\ast c}

a=\sqrt{m\ast c}=\sqrt{4\ast25}=\sqrt{100}

a=10\ cm

La medida del cateto es de 10 centímetros.

Bibliografía:
  • Iriondo, M. (s/f). Aprendiendo Matemáticas. Instituto Universitario Aeronáutico. Córdoba – Argentina.
  • Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador.
  • Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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