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División de fracciones

Operación matemática que consiste en repartir una fracción, llamada dividendo, en tantas veces como lo indique otra cantidad, llamada divisor.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

La división de fracciones es la operación matemática que consiste en repartir una fracción, llamada dividendo, en tantas veces como lo indique otra cantidad, llamada divisor. El divisor puede ser, a su vez, un entero o bien otra fracción. Al dividir se obtiene una cantidad llamada cociente.

Esta definición es semejante a la de la división entre números enteros, solo que las fracciones o quebrados, como también se les conoce, son números de la forma a/b.

El cociente entre dos cantidades fraccionarias se puede escribir como:

$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$

El dividendo es la fracción $\frac{a}{b}$ y el divisor es la fracción $\frac{c}{d}$ . Por su parte, el cociente puede ser fraccionario o entero.

Hay dos cosas importantes que es necesario resaltar acerca de la división de fracciones:

Dividir entre 0 no está permitido.
La división de fracciones no es conmutativa, es decir, el resultado de $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$ no es igual al de $\frac{c}{d}\div\frac{a}{b}$ .

¿Cómo dividir fracciones?

Hay varias formas de dividir fracciones, y todas ellas conducen al mismo resultado, si se efectúan correctamente.

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Método 1

El primer método para dividir fracciones requiere del concepto de fracción inversa.

La fracción inversa de otra fracción es aquella en la que se invierten de lugar el numerador y el denominador. Por lo tanto, si la fracción original es $\frac{c}{d}$ , su inversa es $\frac{d}{c}$ .

Entonces, para dividir dos fracciones, basta con multiplicar el dividendo por la fracción inversa o recíproco del divisor:

$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\left(a\bullet d\right)/\left(b\bullet c\right)$

Método 2

El segundo método es el de la multiplicación cruzada:

Primero se multiplica el numerador del dividendo con el denominador del divisor, y este resultado se coloca como numerador del cociente.
Luego se multiplica el denominador del dividendo con el numerador del divisor, y lo que se obtenga ocupa el denominador del cociente.

$Método cruzado de la división de fracciones$

Método 3

Este método se conoce como la «doble C», y requiere colocar una fracción encima de la otra, del siguiente modo:

$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$

Enseguida, se multiplica el numerador de la fracción superior con el denominador de la fracción inferior y el valor obtenido es el numerador del cociente.

Luego se multiplica el denominador de la fracción superior con el numerador de la inferior, y el resultado es el denominador del cociente.

La siguiente imagen ilustra el procedimiento, y explica el nombre del método, pues se usan dos letras «C» para indicar las operaciones a realizar:

$Método "doble C" de la división de fracciones$

División de fracciones con enteros

Para dividir un entero entre una fracción, o viceversa, una fracción entre un entero, empleando los métodos anteriores, basta con escribir al entero en forma de fracción, cuyo denominador siempre es 1.

Si n es un entero, y se quiere dividir entre la fracción $\frac{a}{b}$ , se escribe:

$n\div\frac{a}{b}=\frac{n}{1}\div\frac{a}{b}$

Luego se emplea cualquiera de los métodos descritos para realizar la división.

Ejemplos

Algunos ejemplos de división de fracciones son:

$\frac{1}{2}\div\frac{1}{3}=\frac{3}{2}$	$\frac{7}{4}\div\frac{23}{2}=\frac{7}{46}$	$4\div\frac{3}{1}=\frac{4}{3}$
$6\div\frac{8}{9}=\frac{27}{4}$	$\frac{17}{9}\div\frac{1}{3}=\frac{17}{3}$	$\frac{5}{10}\div\frac{3}{9}=\frac{3}{2}$
$\frac{10}{2}\div\frac{9}{3}=\frac{5}{3}$	$\frac{17}{8}\div\frac{9}{1}=\frac{17}{72}$	$14\div\frac{5}{7}=\frac{98}{5}$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Operación a resolver: $\frac{4}{5}\div\frac{8}{3}$

Ver solución

Por el método 1, primero se encuentra la fracción inversa del divisor:

Luego se multiplica el dividendo por la fracción inversa y se simplifica la fracción resultante:

$\frac{8}{3}\ \ \longrightarrow\ \ \frac{3}{8}$

Luego se multiplica el dividendo por la fracción inversa y se simplifica la fracción resultante:

$\frac{4}{5}\div\frac{8}{3}=\frac{4}{5}\times\frac{3}{8}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$

El resultado de esta operación es $\frac{3}{10}$

Ejercicio #2

Operación a resolver: $\left(-\frac{2}{3}\right)\div\frac{9}{7}$

Ver solución

Se aplica la ley de los signos, puesto que el dividendo es negativo. De acuerdo a esto, cociente entre números de distinto signo es negativo.

Usando el método 2:

$\left(-\frac{2}{3}\right)\div\frac{9}{7}=-\frac{2\times7}{3\times9}=-\frac{14}{27}$

El resultado de esta operación es: $-\frac{14}{27}$

Ejercicio #3

Operación a resolver: $4\div\frac{6}{5}$

Ver solución

Puesto que el dividendo es un entero, se escribe como fracción colocando 1 en el denominador:

$4\div\frac{6}{5}=\frac{4}{1}\div\frac{6}{5}$

Según el método 3:

$4\div\frac{6}{5}=\frac{4}{1}\div\frac{6}{5}=\frac{\frac{4}{1}}{\frac{6}{5}}=\frac{4\times5}{1\times6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$

El resultado de esta operación es: $\frac{10}{3}$

Ejercicio #4

Operación a resolver: $\frac{2}{9}\div11$

Ver solución

Al igual que el ejemplo anterior, según el método 3:

$\frac{2}{9}\div11=\frac{2}{9}\div\frac{11}{1}=\frac{2}{9}\times\frac{1}{11}=\frac{2}{99}$

El resultado de esta operación es: $\frac{2}{99}$

Ejemplo #5

Operación a resolver: $7\frac{4}{5}\div4\frac{1}{6}$

Ver solución

Esta división contiene fracciones mixtas, las cuales deben convertirse a fracciones impropias antes de plantear la división.

Obtenga más información sobre cómo convertir fracciones mixtas a impropias.

Para convertir la primer fracción a impropia debe resolverse como si esta fuese una suma de fracciones:

$7\frac{4}{5}=7+\frac{4}{5}=\frac{7}{1}+\frac{4}{5}=\frac{35+4}{5}=\frac{39}{5}$

Al igual que con la segunda fracción:

$4\frac{1}{6}=4+\frac{1}{6}=\frac{4}{1}+\frac{1}{6}=\frac{24+1}{6}=\frac{25}{6}$

Por lo tanto, ya con ambas fracciones en impropias, el proceso de la operación sería:

$7\frac{4}{5}\div4\frac{1}{6}=\frac{39}{5}\div\frac{25}{6}=\frac{39}{5}\times\frac{6}{25}=\frac{234}{125}$

El resultado de esta operación es: $\frac{234}{125}$

Ejemplo #6

Operación a resolver: $2\frac{3}{7}\div\left(-5\frac{3}{4}\right)$

Ver solución

Nuevamente se trata de fracciones mixtas y además, de distinto signo, por lo que se debe tener en cuenta la ley de los signos:

$2\frac{3}{7}=2+\frac{3}{7}=\frac{2}{1}+\frac{3}{7}=\frac{14+3}{7}=\frac{17}{7}$

El divisor es negativo, obsérvese que el signo afecta toda la operación:

$-5\frac{3}{4}=-\left(5+\frac{3}{4}\right)=-\left(\frac{5}{1}+\frac{3}{4}\right)=-\left(\frac{20+3}{4}\right)=-\frac{23}{4}$

Finalmente se plantea el cociente:

$2\frac{3}{7}\div\left(-5\frac{3}{4}\right)=\frac{\frac{17}{7}}{-\frac{23}{4}}=\frac{17\times(-4)}{7\times23}=-\frac{68}{161}$

El resultado de esta operación es: $-\frac{68}{161}$

Bibliografía:
Almaguer, G. (2002). Matemáticas 1. Editorial Limusa. Álvarez, J., Jácome, J., López, J., Cruz, E. d., & Tetumo, J. (2007). Matemáticas básicas, elementos de apoyo. Univ. J. Autónoma de Tabasco. Barker, L. (2011). Leveled Texts for Mathematics: Number and Operations. Teacher Created Materials. Baldor, A. (1986). Aritmética. Ediciones y Distribuciones Códice.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). División de fracciones. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/division-de-fracciones/). Última edición: junio 2024. Consultado el 20 de enero de 2025.

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