División de polinomios

Definición

La división de polinomios es un proceso de dividir un polinomio entre otro polinomio que no sea nulo.

La división algebraica de polinomios tiene los mismos elementos de una división aritmética, igualmente posee un divisor, el cociente, el dividendo y el resto. Así mismo se puede expresar como una fracción con un numerador y un denominador

Si se tienen los polinomios P(x) y Q(x) para realizar la división se debe cumplir que el grado de P(x) sea mayor o igual que el grado de Q(x) y su división se puede formular de manera general como:

Donde:

• P(x) es el dividendo de la división.
• Q(x) es el divisor.
• C(x) el cociente.
• R(x) corresponde al residuo o resto de la operación. Si este es cero se trata de una división exacta.

El método de la división algebraica polinómica también se puede expresar como una división larga.

Su proceso de resolución es semejante al proceso aritmético de la división larga entre números, donde se debe obtener el cociente, una expresión o número a la vez.

Esto se puede entender mejor si se considera por la siguiente figura los polinomios P(x) = y² + 3y +2; y el binomio Q(x) = y + 2, donde el numerador se convierte en dividendo y el denominador se convierte en divisor.

Simplemente los términos son los mismos y están escritos de tal manera que sea más fácil de calcular.

Cálculo

En la resolución de división de polinomios se pueden dar varios tipos, considerando principalmente la cantidad de términos que posea el polinomio divisor.

• División de un polinomio por un número.
• División de un polinomio por un monomio.
• División de un polinomio por otro polinomio.

División de un polinomio por un número

Es el caso más sencillo. Se procede dividiendo el coeficiente de cada término entre el número divisor y se escribe la misma parte literal.

Por ejemplo, se tiene la división siguiente:

División de un polinomio por un monomio

Se puede presentar en forma de fracción y cada término del polinomio se divide por separado por el monomio considerando la regla de los signos de la potenciación.

Así, para para dividir los términos del polinomio se separan por el operador (‘+’ o ‘-‘). Luego se dividen los coeficientes de cada término. Para las variables comunes se restan sus exponentes y las no comunes se escriben igual.

Por ejemplos, para dividir el polinomio

El resultado de la división es -3mn² + 4m²n – n.

División de un polinomio entre un polinomio

Para este tipo de división se puede dar el caso que el divisor sea un binomio o un polinomio de tres o más términos.

Su proceso de resolución se puede realizar empleando el método de división larga, siguiendo los pasos que se explican a continuación aplicados a un ejemplo práctico para entender mejor el método.

Dividir los polinomios: (18 + 3x³ + 6x) ÷ (x + 1):

1. Se recomienda primero ordenan los términos del divisor y el dividendo, según las potencias de la variable de forma descendente.
   Se ordena el dividendo 3x³ + 6x² + 18.
2. Si el polinomio no tiene todos los términos, se dejan espacios en blanco donde irían dichos términos, así se evitará cometer errores.
   Falta el término de grado 2 en el polinomio del dividendo, completando este se tiene: x³ + 0x² + 6x + 18
3. Se coloca al polinomio del numerador (dividendo) a la izquierda y al del denominador (divisor) a la derecha encerrado en la clásica cajita de división.
4. Se halla el primer término del cociente, dividiendo el primer término del dividendo por el primer término del divisor. (3x³ ÷ x = 3x²)
5. Se multiplica el cociente que se halló en el paso anterior, por todo el divisor y se ubican los productos debajo de los respectivos términos del dividendo cambiando los signos. (x + 1) * 3x² = 3x³ + 3x → invirtiendo los signos (-3x³ -3x²).
6. Se resta la expresión resultante del dividendo.
7. Ahora se baja la cifra siguiente del dividendo y se repiten nuevamente los pasos
8. Se repiten nuevamente los pasos anteriores (-3x² ÷ x) = -3x multiplicar (x + 1) * (-3x) = -3x² – 3x se invierten los signos del resultado y se resta con el nuevo dividendo.
9. Se baja la última cifra del dividendo original y nuevamente repetir los pasos.

El resultado de la división polinómica se puede expresar de la forma general anteriormente indicada como:

Siendo el cociente resultante 3x² – 3x + 9 y el residuo 9.

Ejercicio de ejemplo

Hallar el resultado de P(x) ÷ Q(x), donde ,

Ver solución

Para el ejemplo de trata de dos polinomios, el divisor es un trinomio. Se resuelve aplicando el método de división larga.

Para conocer los cálculos intermedios que se realizan, estos se escribirán en la última columna.

Cálculos intermedios 4x3– x2 = 4x (x2 + x – 1) * 4x = 4x3 + 4x2  – 4x se invierten los signos para restar con el dividendo – 4x3 – 4x2 + 4x -2x2 ÷ x2 = -2 (x2 + x – 1) * (-2) = (-2x2 – 2x +2) Se invierte el signo y se resta al dividendo (2x2 + 2x – 2)

El resultado de la división polinómica es:

Siendo el cociente resultante 4x – 2 y el residuo -10.