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febrero 7, 2022

Última edición

febrero 7, 2022

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7 minutos

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Haude Medina (2022). Ecuaciones de primer grado. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/ecuaciones-de-primer-grado/). Última edición: febrero 2022. Consultado el 28 de mayo de 2024.
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Contenidos

Ecuaciones de primer grado

Igualdad de expresiones algebraicas con al menos una incógnita.

7m
·
Tabla de contenidos:

Definición

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Una ecuación de primer grado, también conocidas como ecuaciones lineales, consiste en una igualdad de expresiones algebraicas con al menos una incógnita, la cual se satisface para uno o varios valores específicos de la o las variables.

Toda ecuación de primer grado con una sola variable, llamada “x”, tiene la forma general:

ax+b=0

Donde a y b son números reales y a siempre es distinto de 0.

Se reconoce que la ecuación es de primer grado, gracias a que el mayor exponente de la variable es igual a 1, y dicho exponente es el que determina el grado de la ecuación. Al valor de a se le llama también coeficiente, y el de b se denomina término independiente.

Si la ecuación tiene dos variables, llamadas “x” e “y”, su expresión toma la forma:

ax+by+c=0

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Los valores de a, b y c también son, en general, números reales, siendo los coeficientes a y b distintos de 0. De manera análoga se establecen ecuaciones con tres y más variables.

¿Cómo se resuelven?

Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, significa encontrar los valores de la variable que satisfacen la igualdad. Casi siempre la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es un valor único, pero a veces hay infinitas soluciones, o ninguna.

El procedimiento requiere efectuar algunas transformaciones, con la finalidad de aislar la incógnita. De esta manera se obtiene una ecuación equivalente, a través de la cual se encuentra la solución.

Los valores de la solución de la ecuación equivalente, que sean admisibles en la ecuación original, constituyen la solución buscada.

Las transformaciones que se pueden efectuar son las siguientes:

  1. Sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de la igualdad.
  2. Multiplicar o dividir todos los términos que están cada lado de la igualdad por una misma cantidad, siempre que esta sea diferente de 0.

Recomendaciones generales

  • Hay que pasar todos los términos que contienen la incógnita a uno de los lados de la igualdad, y dejar los términos independientes al otro, utilizando la transformación 1.
  • Una vez agrupados apropiadamente los términos a ambos lados de la igualdad, se procede a reducir los que sean semejantes.
  • Cuando el término que contiene la variable se reduce a uno solo, se emplea la transformación 2 para despejar la incógnita.
  • Si en la ecuación aparecen paréntesis, estos se retiran empleando la ley de los signos y la propiedad distributiva a conveniencia.
  • Cuando los coeficientes son fraccionarios, se transforma la ecuación multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo de los denominadores. De esta manera se obtiene una ecuación con coeficientes enteros, más simple de resolver.
  • Comprobar la solución, sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación original, para asegurarse de que se obtiene una igualdad.

Ejemplos

Algunos ejemplos de ecuaciones de primer grado son:

6x-12=15 13x-9=7 6x+3=4(4+x)7
\frac{4x-1}{3}+1=\frac{3x+1}{2} 3x-6=12 1+10\left(2-x\right)=4-2x
2x-8=4 3x+2=2(2+x)3 \frac{2x-1}{3}+1=\frac{2x+1}{1}

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Ecuación a resolver: 3x-10=17

Ver solución

El término que contiene la incógnita, que es 3x, se deja solo en el miembro derecho de la igualdad, para ello basta sumar 10 a ambos lados de la igualdad (transformación 1):

3x-10=17

3x-10+10=17+10

3x=27

Seguidamente, se divide cada término por un mismo valor (distinto de 0). En este caso, el valor adecuado es 3 (transformación 2):

\frac{3x}{3}=\frac{27}{3}\ =\ 9

Por lo tanto, la solución de la ecuación es x=9. Si se sustituye este valor en la ecuación original se obtiene:

3\bullet9-10=17

27-10=17

17 = 17

Ejercicio #2

Ecuación a resolver: 3x+7=2(8+x)7

Ver solución

Como el miembro a la derecha de la igualdad tiene un paréntesis, se aplica la propiedad distributiva:

3x+7=2(8+x)

3x+7=16+2x

El término 2x puede pasar al lado izquierdo con signo negativo, esto es equivalente a restar 2x a ambos lados de la igualdad:

3x+7-2x=16

Ahora, el 7 a la izquierda pasa a la derecha con signo negativo:

3x-2x=16-7

3x-2x=9

Se reducen los términos del lado izquierdo: 1x=9. Por lo tanto la solución buscada es x=9.

Ejercicio #3

Ecuación a resolver: \frac{2x-1}{3}+2=\frac{3x+1}{4}.

Ver solución

Esta ecuación tiene coeficientes fraccionarios, a diferencia de los ejemplos anteriores. En tal caso, se multiplica cada término por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, entre 3 y 4 este es 12. Por lo tanto:

\frac{2x-1}{3}+2=\frac{3x+1}{4}

12\left(\frac{2x-1}{3}\right)+12\bullet2=12\left(\frac{3x+1}{4}\right)

4\left(2x-1\right)+24=3\left(3x+1\right)

Seguidamente se aplica la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis:

8x-4+24=9x+3

Se reducen los términos semejantes en el lado izquierdo de la igualdad:

8x+20=9x+3

El 20 puede pasar al lado derecho de la igualdad con signo negativo, mientras que el 9x pasa al lado izquierdo, también con signo negativo. Esto es equivalente a restar 20 a ambos lados, y 9x a ambos lados de la igualdad:

8x -9x = 3-20

Lo que queda:

-x=-17

Como ambos términos tienen signo negativo, se multiplica por (−1) a ambos lados de la igualdad, resultando la solución:x=17.

Ejercicio #4

Ecuación a resolver: 1+4\left(5-x\right)=6-4x.

Ver solución

La solución a esta ecuación constaría de los siguientes pasos:

1+4\left(5-x\right)=6-4x

1+20-4x=6-4x

21-4x=6-4x

21-4x+4x-21=6-4x+4x-21

0=6-21

0=-15

Pero 0 no es igual a −15, por lo tanto, esta ecuación de primer grado no tiene solución.

Ejercicio #5

Ecuación a resolver: 3+5x-1=3x+2+2x.

Ver solución

Como siempre, se ubican los términos que contienen la incógnita a la izquierda de la igualdad, y los términos independientes a la derecha:

3+5x-1=3x+2+2x

5x-3x-2x=2+1-3

0=0

Esta expresión trivial indica que la ecuación tiene infinitas soluciones, es decir, cualquier valor de x satisface la igualdad original, como se puede comprobar fácilmente sustituyendo un valor arbitrario de x, como x = 1, x = 5 o cualquier otro.

Ejercicio #6 – Problema

Algunos problemas verbales de matemáticas se resuelven a través de una ecuación de primer grado con una incógnita.

Problema a resolver: ¿cuál es el número que siendo multiplicado por 4, y que luego al resultado se le reste 12, da como resultado el 20?

Ver solución

Sea “x” este número desconocido. Al ser multiplicado por 4 quedaría 4x, a esto se le debe restar 12 y el resultado es 20, según el enunciado.

Todo esto se escribe así en el lenguaje algebraico: 4x-12=20

Se trata de una ecuación de primer grado con una incógnita, que se resuelve del mismo modo que se hizo en los ejemplos anteriores:

4x-12=20

4x=20+12

4x=32

x=8

Por lo tanto, el número buscado es 8.

Bibliografía:
  • Haeussler, E. F. 2003. Matemáticas para administración y economía.Pearson Educación.
  • Hoffman, J. Selección de temas de Matemática. Volumen 2.
  • Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  • Stewart, J. 2006. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.
  • Sullivan, M. 1997. Precálculo. 4ta. Edición. Pearson Educación.
  • Zill, D. 2008. Precálculo con avances de Cálculo. 4ta. Edición. McGraw Hill.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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