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Ecuaciones de segundo grado

Ecuación que una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita o variable es 2.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Una ecuación de segundo grado, también conocida como ecuación cuadrática, es aquella ecuación que una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita o variable es 2. Expresado de otra manera, es una ecuación polinomial de segundo orden con una sola variable.

Una ecuación de segundo grado tiene la forma siguiente:

$ax^2+\ bx+c$

donde «x» es la incógnita o variable, a, b, c son los coeficientes.

Estos términos también son denominados de la siguiente manera:

a se le denomina término cuadrático.
b se le denomina término lineal.
c se le denomina término independiente.

La ecuación de segundo grado debe cumplir con algunas condiciones que se listan a continuación:

El mayor exponente de la incógnita es 2.
a, b y c Î R (pertenecen a los números reales)
El valor de “a” debe ser diferente de 0 (a≠0)

Debido a que es una ecuación polinomial de segundo orden, el teorema fundamental del álgebra garantiza que tiene al menos una solución. Estas soluciones pueden ser tanto reales como complejas.

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Las ecuaciones de segundo grado se pueden clasificar de dos maneras, dependiendo de los coeficientes a, b y c.

Si a, b, c ≠ 0, se denomina ecuación completa. Siendo la forma ya conocida $ax^2+\ bx+c=0$
Si b ó c = 0, se denomina ecuación incompleta. Pueden darse alguna de estas formas: $ax^2\pm\ bx=0$ o $ax^2\pm c=0\$

Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas son:

Ejemplo	Valores de a, b, c	Tipo de ecuación cuadrática
$2x^2+5x+1=0$	a = 2, b = 5, c = 1	Ecuación completa
${3x}^2-2x+4=0$	a = 3, b = – 2, c = 4	Ecuación completa
${2x}^2+6x=0$	a = 2, b = 6, c = 0	Ecuación incompleta
${2x}^2-3=0$	a = 2, b = 0, c = – 3	Ecuación incompleta

Resolución

Resolver una ecuación de segundo grado igualada a cero (0), quiere decir que se debe encontrar el valor de la incógnita o variable denominada con la letra “x”.

Una ecuación de segundo grado se puede resolver a partir de la aplicación de la siguiente fórmula:

$x=\ \frac{-b\ \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Esta fórmula tiene algunas consideraciones:

El signo ± significa que se obtendrá dos (2) resultados. Uno cuando se utilice el signo de (+) y otro resultado cuando se utiliza el signo (-). Se obtendrán entonces los valores para x₁y el valor de x_2.
La parte $b^2-4ac$ se le denomina Discriminante (D). El discriminante de una ecuación de segundo grado revela la naturaleza de las raíces, es decir; indica si hay dos soluciones, una solución, si los valores estarán dentro del conjunto de los números reales o complejos.

Al analizar el Discriminante se puede determinar que:

Para D > 0 las raíces son reales y distintas.
Para D < 0 las raíces no existen, o las raíces son imaginarias.
Para D = 0 las raíces son reales e iguales.

Ejemplos

Algunos ejemplos de ecuaciones de segundo grado son:

$4x^2+3x+2=0$	$3x^2+2x+5=0$	$-8x^2-6x=0$
$2x^2-7=0$	$4x^2+3=0$	$3+8x^2-2=0$
$8x^2+9x+1=0$	$2x^2+8x+8=0$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Ecuación a resolver: $2x^2+5x+1=0$

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: $a = 2$ $b = 5$ $c = 1$

Paso 2: sustituir los valores de los coeficientes en la fórmula:

$x=\ \frac{-b\ \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$x=\ \frac{-(5)\ \pm\sqrt{{(5)}^2-(4\ast2\ast1)}}{2\ast2}$

Paso 3: resolver las operaciones que están entre los paréntesis.

-(5) = -5 (según la regla delos signos – * + = -)
(5)² = 5 x 5 = 25
(4 * 2 * 1) = 8
(2 * 2) = 4

La fórmula queda de la siguiente manera:

$x=\ \frac{-5\ \pm\sqrt{25-8}}{4}$

Al resolver los valores que están dentro de la raíz se obtiene

$x=\ \frac{-5\ \pm\sqrt{17}}{4}$

$\sqrt{17}=\ 4,123$ por tanto $x=\ \frac{-5\ \pm\ 4,123}{4}$ . Ya que el discriminante es mayor que cero entonces la ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales. Se hallan los valores de x₁ y el valor de x₂

$x_1=\ \frac{-5+4,123}{4}=\ -0,219$

$x_2=\ \frac{-5-4,123}{4}=\ -2,280$

La solución de la ecuación de segundo grado es $x_1=\ -0,219$ y $x_2=\ -2,280$ .

Ejercicio #2

Ecuación a resolver: $3x^2+6x+3=0$

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: $a = 3$ $b = 6$ $c = 3$

Paso 2: al sustituir los valores de la fórmula de resolución se obtiene:

$x=\ \frac{-(6)\ \pm\sqrt{{(6)}^2-(4\ast3\ast3)}}{(2\ast3)}$

Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis

$x=\ \frac{-6\ \pm\sqrt{36-36}}{6}x=\ \frac{-6\ \pm\sqrt{36-36}}{6}$

Resolviendo la raíz:

$x=\ \frac{-6\ \pm\sqrt0}{6}$

La raíz cuadrada de cero (0) es igual a cero (0). Ya que el discriminante es cero entonces la ecuación de segundo grado tiene sólo una raíz real.

$x=\ \frac{-6\ }{6}$

La solución de la ecuación de segundo grado es $x = -1$

Ejercicio #3

Ecuación a resolver: $-5x^2-2x=0$

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: $a = -5$ $b = -2$ $c = 0$

Paso 2: sustituir los valores

$x=\ \frac{-(-2)\ \pm\sqrt{{(-2)}^2-(4\ast\left(-5\right)\ast0)}}{(2\ast\left(-5\right))}$

Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis

$x=\ \frac{+2\ \pm\sqrt{4+0}}{-10}$

Resolviendo la raíz

$x=\ \frac{+2\ \pm\sqrt4}{-10}$

Ya que el discriminante es mayor que cero entonces la ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales:

$x_1=\ \frac{+2+2\ \ }{-10}=\ -0,4\$

$x_2=\ \frac{+2-2\ \ }{-10}=\ \frac{0}{-10}=0$

La solución de la ecuación de segundo grado es $x_1 = -0,4$ y $x_2 = 0$ .

Ejercicio #4

Ecuación a resolver: $7x^2-3=0$

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: $a = 7$ $b = 0$ $c = -3$

Paso 2: sustituir los valores

$x=\ \frac{-(0)\ \pm\sqrt{{(0)}^2-(4\ast7\ast(-3))}}{(2\ast7)}$

Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis

$x=\ \frac{0\ \pm\sqrt{-(-84)}}{14}\ =\ \frac{0\ \pm\sqrt{+84}}{14}$

Ya que el discriminante es mayor que cero entonces la ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales:

$x_1=\ \frac{+9,17\ \ }{14}=\ 0,65$

$x_2=\ \frac{-9,17\ \ }{14}=\ -0,65\$

La solución de la ecuación de segundo grado es $x_1 = 0,65$ y $x_2 = -0,65$ .

Bibliografía:
Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Cordoba. Universidad Jesuita. Carena, M. (2022, enero 27). Manual de matemática preuniversitaria. https://infolibros.org/pdfview/434-manual-de-matematica-preuniversitaria-marilina-carena/ Ministerio de Educación del Ecuador. (2016b). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Ecuaciones de segundo grado. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/ecuaciones-de-segundo-grado/). Última edición: junio 2024. Consultado el 08 de septiembre de 2024.

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