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Haude Medina (2022). Ecuaciones de segundo grado. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/ecuaciones-de-segundo-grado/). Última edición: febrero 2022. Consultado el 21 de mayo de 2024.
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Ecuaciones de segundo grado

Ecuación que una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita o variable es 2.

7m
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Tabla de contenidos:

Definición

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Una ecuación de segundo grado, también conocida como ecuación cuadrática, es aquella ecuación que una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita o variable es 2. Expresado de otra manera, es una ecuación polinomial de segundo orden con una sola variable.

Una ecuación de segundo grado tiene la forma siguiente:

ax^2+\ bx+c

donde «x» es la incógnita o variable,  a, b, c son los coeficientes.

Estos términos también son denominados de la siguiente manera:

  • a se le denomina término cuadrático.
  • b se le denomina término lineal.
  • c se le denomina término independiente.

La ecuación de segundo grado debe cumplir con algunas condiciones que se listan a continuación:

  • El mayor exponente de la incógnita es 2.
  • a, b y c Î R (pertenecen a los números reales)
  • El valor de “a” debe ser diferente de 0 (a≠0)

Debido a que es una ecuación polinomial de segundo orden, el teorema fundamental del álgebra garantiza que tiene al menos una solución. Estas soluciones pueden ser tanto reales como complejas.

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Las ecuaciones de segundo grado se pueden clasificar de dos maneras, dependiendo de los coeficientes a, b y c.

  • Si a, b, c ≠ 0, se denomina ecuación completa. Siendo la forma ya conocida ax^2+\ bx+c=0
  • Si b ó c = 0, se denomina ecuación incompleta. Pueden darse alguna de estas formas: ax^2\pm\ bx=0 o ax^2\pm c=0\

Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas son:

Ejemplo Valores de a, b, c Tipo de ecuación cuadrática
2x^2+5x+1=0 a = 2,  b = 5,  c = 1 Ecuación completa
{3x}^2-2x+4=0 a = 3,  b = – 2,  c = 4 Ecuación completa
{2x}^2+6x=0 a = 2,  b = 6,  c = 0 Ecuación incompleta
{2x}^2-3=0 a = 2,  b = 0,  c = – 3 Ecuación incompleta

Resolución

Resolver una ecuación de segundo grado igualada a cero (0), quiere decir que se debe encontrar el valor de la incógnita o variable denominada con la letra “x”.

Una ecuación de segundo grado se puede resolver a partir de la aplicación de la siguiente fórmula:

x=\ \frac{-b\ \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Esta fórmula tiene algunas consideraciones:

  • El signo ± significa que se obtendrá dos (2) resultados. Uno cuando se utilice el signo de (+) y otro resultado cuando se utiliza el signo (-). Se obtendrán entonces los valores para x1 y el valor de x2.
  • La parte b^2-4ac se le denomina Discriminante (D). El discriminante de una ecuación de segundo grado revela la naturaleza de las raíces, es decir; indica si hay dos soluciones, una solución, si los valores estarán dentro del conjunto de los números reales o complejos.

Al analizar el Discriminante se puede determinar que:

  • Para D > 0 las raíces son reales y distintas.
  • Para D < 0 las raíces no existen, o las raíces son imaginarias.
  • Para D = 0 las raíces son reales e iguales.

Ejemplos

Algunos ejemplos de ecuaciones de segundo grado son:

4x^2+3x+2=0 3x^2+2x+5=0 -8x^2-6x=0
2x^2-7=0 4x^2+3=0 3+8x^2-2=0
8x^2+9x+1=0 2x^2+8x+8=0

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Ecuación a resolver: 2x^2+5x+1=0

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: a = 2b = 5c = 1

Paso 2: sustituir los valores de los coeficientes en la fórmula:

x=\ \frac{-b\ \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x=\ \frac{-(5)\ \pm\sqrt{{(5)}^2-(4\ast2\ast1)}}{2\ast2}

Paso 3: resolver las operaciones que están entre los paréntesis.

  • -(5) = -5 (según la regla delos signos – * + = -)
  • (5)² = 5 x 5 = 25
  • (4 * 2 * 1) = 8
  • (2 * 2) = 4

La fórmula queda de la siguiente manera:

x=\ \frac{-5\ \pm\sqrt{25-8}}{4}

Al resolver los valores que están dentro de la raíz se obtiene

x=\ \frac{-5\ \pm\sqrt{17}}{4}

\sqrt{17}=\ 4,123 por tanto x=\ \frac{-5\ \pm\ 4,123}{4}. Ya que el discriminante es mayor que cero entonces la ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales. Se hallan los valores de x1  y el valor de x2

x_1=\ \frac{-5+4,123}{4}=\ -0,219

x_2=\ \frac{-5-4,123}{4}=\ -2,280

La solución de la ecuación de segundo grado es x_1=\ -0,219 y x_2=\ -2,280.

Ejercicio #2

Ecuación a resolver: 3x^2+6x+3=0

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: a = 3b = 6c = 3

Paso 2: al sustituir los valores de la fórmula de resolución se obtiene:

x=\ \frac{-(6)\ \pm\sqrt{{(6)}^2-(4\ast3\ast3)}}{(2\ast3)}

Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis

x=\ \frac{-6\ \pm\sqrt{36-36}}{6}x=\ \frac{-6\ \pm\sqrt{36-36}}{6}

Resolviendo la raíz:

x=\ \frac{-6\ \pm\sqrt0}{6}

La raíz cuadrada de cero (0) es igual a cero (0). Ya que el discriminante es cero entonces la ecuación de segundo grado tiene sólo una raíz real.

x=\ \frac{-6\ }{6}

La solución de la ecuación de segundo grado es x = -1

Ejercicio #3

Ecuación a resolver: -5x^2-2x=0

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: a = -5b = -2c = 0

Paso 2: sustituir los valores

x=\ \frac{-(-2)\ \pm\sqrt{{(-2)}^2-(4\ast\left(-5\right)\ast0)}}{(2\ast\left(-5\right))}

Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis

x=\ \frac{+2\ \pm\sqrt{4+0}}{-10}

Resolviendo la raíz

x=\ \frac{+2\ \pm\sqrt4}{-10}

Ya que el discriminante es mayor que cero entonces la ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales:

x_1=\ \frac{+2+2\ \ }{-10}=\ -0,4\

x_2=\ \frac{+2-2\ \ }{-10}=\ \frac{0}{-10}=0

La solución de la ecuación de segundo grado es x_1 = -0,4 y x_2 = 0.

Ejercicio #4

Ecuación a resolver: 7x^2-3=0

Ver solución

Paso 1: determinamos los valores de los coeficientes a, b, c: a = 7b = 0c = -3

Paso 2: sustituir los valores

x=\ \frac{-(0)\ \pm\sqrt{{(0)}^2-(4\ast7\ast(-3))}}{(2\ast7)}

Paso 3: resolver las operaciones dentro de los paréntesis

x=\ \frac{0\ \pm\sqrt{-(-84)}}{14}\ =\ \frac{0\ \pm\sqrt{+84}}{14}

Ya que el discriminante es mayor que cero entonces la ecuación de segundo grado tiene dos raíces reales:

x_1=\ \frac{+9,17\ \ }{14}=\ 0,65

x_2=\ \frac{-9,17\ \ }{14}=\ -0,65\

La solución de la ecuación de segundo grado es x_1 = 0,65 y x_2 = -0,65.

Bibliografía:
  • Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Cordoba. Universidad Jesuita.
  • Carena, M. (2022, enero 27). Manual de matemática preuniversitaria. https://infolibros.org/pdfview/434-manual-de-matematica-preuniversitaria-marilina-carena/
  • Ministerio de Educación del Ecuador. (2016b). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Ecuaciones de segundo grado. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/ecuaciones-de-segundo-grado/). Última edición: febrero 2022. Consultado el 21 de mayo de 2024.
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