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Ecuaciones

Declaración que confirma la igualdad de dos expresiones algebraicas y que están conectadas por el signo igual (=).

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Matemáticamente, se define una ecuación como una declaración que confirma la igualdad de dos expresiones algebraicas y que están conectadas por el signo igual (=).

Una ecuación tiene dos miembros, una expresión escrita del lado izquierdo de la igualdad y otra escrita del lado derecho del signo (=).

De no haber un signo de igualdad en la declaración, se puede decir que no se trata de una ecuación y se considera una expresión algebraica.

Por ejemplo, se pueden considerar las siguientes declaraciones: 3y + 5 = 8; z = mx + 1, ambas son ecuaciones. Cada una de ellas muestra dos expresiones algebraicas unidas por el signo de igualdad, como se muestra en el cuadro a continuación.

Ecuación	Expresión algebraica lado izquierdo	Expresión algebraica lado derecho
3y + 5 = 8	3y + 5	13
z = mx + 1	z	mx + 1

En cambio, si se tienen: 3y -7; x² – 4x – 1 5(12x – 3), estas no son ecuaciones y corresponden todos los casos a expresiones algebraicas.

Aunque las ecuaciones y las expresiones algebraicas se usan simultáneamente en álgebra hay una diferencia entre ambos términos:

Una ecuación plantea una igualdad y se puede resolver para encontrar el valor de la cantidad desconocida.
Una expresión algebraica no representa una igualdad y se puede simplificar a la forma más simple.

La utilidad de las ecuaciones, radica en el hecho que muchos problemas se pueden resolver planteando alguna ecuación y en su resolución la variable o incógnita puede tomar valores, de manera que al sustituirlos en la ecuación se satisface la igualdad.

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Partes de la ecuación

Ya se ha mencionado que una ecuación tiene dos expresiones algebraicas separadas por el signo de igual.

Ahora bien, cada uno de estos miembros de la ecuación está formado por diferentes elementos que se muestran y definen a continuación:

Partes de una ecuación.

Miembros: son cada una de las dos expresiones algebraicas que están situadas a los lados del signo igual.
Términos: son cada uno de los monomios de la ecuación.
Variable: es también conocida como incógnita y corresponde al valor desconocido que se desea hallar para resolver la ecuación.
Coeficiente: es el número que multiplica a la variable.
Grado de la ecuación: es igual al exponente más grande que tiene la incógnita de la ecuación.
Constantes: son aquellos números que no están acompañados por ninguna letra.

Tipos y clasificación

Según el grado, las ecuaciones se pueden clasificar en tres tipos. Los siguientes son los tres tipos de ecuaciones en matemáticas:

Ecuaciones lineales o de primer grado

Artículo principal: Ecuaciones de primer grado o lineales.

Una ecuación lineal es una ecuación en la que la potencia más alta de la variable es siempre 1.

También es conocida como ecuación de primer grado y consiste en una igualdad de expresiones algebraicas con al menos una incógnita, la cual se satisface para uno o varios valores específicos de la o las variables.

Toda ecuación de primer grado con una sola variable, llamada “x”, tiene la forma general:

$ax+b=0$

Donde “a” y “b” son números reales y “a” siempre es distinto de 0.

Si la ecuación tiene dos variables, por lo general representadas con las letras “x” e “y”, su expresión toma la forma:

$ax+by+c=0$

Donde los valores de “a”, “b” y “c” son números reales, siendo los coeficientes “a” y “b” distintos de 0. De manera análoga se establecen ecuaciones con tres y más variables.

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

$3m-8=17m\$
$3x=2(8+x)$
$-2=3x+1$

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado

Artículo principal: Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.

Una ecuación cuadrática es también conocida como ecuación de segundo grado y es aquella ecuación donde el mayor exponente de la incógnita o variable es 2.

Una ecuación de segundo grado tiene la forma siguiente:

$ax^2+\ bx+c=0$

donde “x” es la incógnita o variable, a, b, c son los coeficientes y se debe cumplir que “a” sea diferente de cero.

Este tipo de ecuaciones se pueden clasificar de dos maneras, dependiendo de los coeficientes a, b y c.

Ecuación completa que tiene la forma general $ax^2+\ bx+c=0$ , donde a, b, c deben ser diferentes de cero.

Ecuación incompleta cuando “b” ó “c” toman valores de cero. Puede ser de la forma $ax^2\pm\ bx=0$ o tomar la forma general $ax^2\pm\ c=0$ .

$2x^2+5x+1=0$
${2x}^2-3=0$

Ecuaciones cúbicas

Esta es una ecuación de tercer orden. En ecuaciones cúbicas, al menos una de las variables debe elevarse al exponente 3.

La forma estándar de una ecuación cúbica con variable “x” es $ax^3+\ bx^2+cx+d\ =\ 0$ , donde a ≠ 0.

Ecuaciones racionales

Una ecuación racional es una ecuación que contiene fracciones con una variable en el numerador, el denominador o ambos.

Algunos ejemplos de ecuaciones racionales son:

$\frac{2x+1}{3}=\frac{2}{4x}$
$2y-5=\frac{1}{5y}$

Para resolver este tipo de ecuaciones, se debe lograr que la incógnita tan sólo se encuentre en el numerador, para luego poder realizar los procedimientos matemáticos convenientes y hallar la o las posibles soluciones de la variable.

Ejemplos

A continuación se mencionan algunos ejemplos de ecuaciones:

${7x}^3-10=0$	$7x-8=17x\$	$ax^3+\ bx+c=0$
$2x-2=5x\$	$x-4=3x\$	${8x}^4-5=0$
${4y}^2-5=0$	${4x}^2-7=9$	$\frac{6y+1}{5}=\frac{2}{2y}$
$5y - 8 +x = 17x - 8y\$	${1x}^2-3=5$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Dados las siguientes declaraciones, indicar cuáles son ecuaciones y cuáles expresiones algebraicas.

$2x\ =\ 3x\ -\ 20$
$y\ =\ 2x\ +\ 2$
$y\ +\ x^2\ - 7$
$2m-\frac{5}{3}$

Ver solución

$2x\ =\ 3x\ - 20$ Es una ecuación.
$y\ =\ 2x\ +\ 2$ Es una ecuación.
$y\ +\ x^2\ - 7$ Es una expresión algebraica, no presenta la relación de igualdad
$2m-\frac{5}{3}$ Es una expresión algebraica, no presenta la relación de igualdad

Ejercicio #2

Clasificar las siguientes preposiciones según el tipo de ecuaciones conocidas.

$6(2x\ +\ 3)\ =\ 3(5x\ +\ 7)\ +\ 2x$
$\frac{x-2}{x+1}=\frac{3}{2}+\frac{4}{3x+2}$
$2x^2+5x+1=0$

Ver solución

$6(2x\ +\ 3)\ =\ 3(5x\ +\ 7)\ +\ 2x$ . Es una ecuación lineal, debido a que el mayor exponente de la variable es 1.
$\frac{x-2}{x+1}=\frac{3}{2}+\frac{4}{3x+2}$ . Corresponde a una ecuación racional, ya que la incógnita se encuentra en el denominador.
$2x^2+5x+1=0$ . Es una ecuación de segundo, el mayor exponente de la variable es 2.

Bibliografía:
Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Córdoba. Universidad Jesuita. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Ecuaciones. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/ecuaciones/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 15 de septiembre de 2024.

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