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Fracciones equivalentes

Fracciones que cuando a pesar de tener diferente numerador y denominador, representan la misma cantidad.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Dos o más fracciones son equivalentes, cuando a pesar de tener diferente numerador y denominador, representan la misma cantidad de la unidad o del conjunto.

En general, aunque dos o más fracciones parezcan diferentes, por tener distintos números, estas pueden ser iguales o equivalentes, si representan el mismo valor del entero.

Así por ejemplo, si se tienen las fracciones: $\frac{3}{4}$ y $\frac{6}{8}$ , estas son equivalentes. Al simplificar $\frac{6}{8}$ queda como $\frac{3}{4}$ . Se observa, que las fracciones representan la misma cantidad de partes de la unidad. Esta es una manera sencilla de reconocer fracciones equivalentes.

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Hallar fracciones equivalentes

Hay dos maneras de hallar fracciones equivalentes, a partir de otra fracción, esto es mediante el método de “amplificación” y el método de “simplificación”.

Por amplificación

Este método consiste en multiplicar, tanto el numerador como el denominador de la fracción, por un mismo número pero distinto de 0.

Por amplificación, se puede inferir, que toda fracción tiene infinitas fracciones equivalentes.

Supóngase la fracción $\frac{3}{7}$ , si se multiplica tanto el numerador como el denominador por 3, se obtiene la siguiente fracción equivalente.

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$\frac{3}{7}\ast\ \frac{3}{3}=\frac{9}{21}$

Entonces $\frac{3}{7}$ y $\frac{9}{21}$ son fracciones equivalentes.

Así, se puede continuar multiplicando la fracción $\frac{3}{7}$ por cualquier otro número y obtener infinitas fracciones equivalentes.

Por simplificación

Para este método, si tanto el numerador como el denominador se pueden dividir por un mismo número, entonces; se pueden calcular fracciones equivalentes a una fracción dada.

Primero se debe encontrar el factor común que divida exactamente al numerador y el denominador. Una forma rápida y sencilla de encontrar el factor común, es mediante los criterios de divisibilidad.

Por ejemplo, si se tiene la fracción $\frac{15}{21}$ , se observa que tanto el numerador como el denominador son divisibles entre 3, por lo que se puede obtener la siguiente fracción equivalente.

$\frac{15\div3}{21\div3}=\frac{5}{7}$

Por lo que $\frac{15}{21}$ y $\frac{5}{7}$ son equivalentes.

Sin embargo, a diferencia del método de amplificación, no siempre se pueden hallar fracciones equivalentes por simplificación, debido a que no todos los números tienen divisores comunes.

Por ejemplo, si se tiene la fracción $\frac{21}{40}$ , no tienen divisores comunes. El 21 es divisible entre 3, 7, 21, pero el denominador 40 es divisible entre 2, 4, 5, 8, 10. Por lo que a la fracción $\frac{21}{40}$ no se le pueden hallar fracciones equivalentes por simplificación.

Comprobar si dos fracciones son equivalentes

Existen varios métodos para determinar si dos o más de dos fracciones son equivalentes. Los métodos conocidos son por fracción irreducible, por método de multiplicación cruzada y por método de división.

Fracción irreducible

Al simplificar a la mínima expresión cada una de las fracciones dadas, si las fracciones irreducibles son iguales, se dice, que las fracciones son equivalentes.

Si se tienen las fracciones $\frac{1}{6}$ y $\frac{3}{18}$ , al simplificar o reducir $\frac{3}{18}$ se tiene $\frac{1}{6}$ , por tanto;

$\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$

Método de multiplicación cruzada

Otra manera de conocer si dos fracciones son equivalentes, es mediante la comprobación de los productos cruzados, que refiere, que si el producto de los extremos de la fracción es igual al producto de los medios, las fracciones son equivalentes.

Figura de la multiplicación cruzada.

Estas son equivalentes si y solo si a * d = b * c.

A través del siguiente ejemplo, se puede comprender el método. Se tienen las fracciones: $\frac{12}{21}\$ y $\frac{4}{7}$ .

Figura de la multiplicación cruzada.

Se debe cumplir que (12 * 7) = (21 * 4), resolviendo se tiene que 84 = 84, por tanto las fracciones dadas son equivalentes.

Método de división

Para este método se tiene que convertir cada fracción dada a un número decimal, esto se hace dividiendo el numerador de la fracción entre el denominador de la misma. Si los resultados obtenidos de cada fracción son iguales, entonces, las fracciones son equivalentes

Supóngase que se tienen las fracciones $\frac{2}{7}\$ y $\frac{8}{28}$ , al convertir a decimal cada fracción se obtiene:

$\frac{2}{7}=0,29\ \ y\ \frac{8}{28}=0,29$

Como los valores decimales de cada fracción son iguales, se concluye que ambas fracciones son equivalente.

Ejemplos

Algunos ejemplos de fracciones equivalentes son:

$\frac{4}{5}\$ y $\frac{8}{10}$	$\frac{13}{9}\$ y $\frac{39}{27}$	$\frac{4}{4}\$ y $\frac{1}{1}$	$\frac{2}{9}\$ y $\frac{4}{18}$
$\frac{108}{42}\$ y $\frac{18}{7}$	$\frac{3}{9}\$ y $\frac{1}{3}$	$\frac{21}{24}\$ y $\frac{7}{8}$	$\frac{5}{8}\$ y $\frac{15}{24}$
$\frac{8}{2}\$ y $\frac{4}{1}$	$\frac{13}{11}\$ y $\frac{26}{22}$	$\frac{18}{2}\$ y $\frac{9}{1}$	$\frac{88}{4}\$ y $\frac{22}{1}$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: amplificar 3 veces la fracción $\frac{9}{11}$ para hallar fracciones equivalentes.

Ver solución

Para amplificar la fracción se multiplica tanto numerador como el denominador por un mismo número que no sea el 0. Se multiplicará, para este caso, la fracción por 3, luego por 4 y finalmente por 5.

$\frac{9\ast3}{11\ast3}=\frac{27}{33}$ $\frac{9\ast4}{11\ast4}=\frac{36}{44}$ $\frac{9\ast5}{11\ast5}=\frac{45}{55}$

Las fracciones $\frac{27}{33}\ ,\ \frac{36}{44},\ \frac{45}{55}$ son equivalentes a la fracción $\frac{9}{11}$ .

Ejercicio #2

Problema a resolver: hallar fracciones equivalentes a las fracciones dadas por el método de simplificación.

$\frac{15}{25}$
$\frac{18}{30}$

Ver solución

Fracción	Fracción equivalente	Explicación
$\frac{15}{25}$	$\frac{3}{5}$	El numerador y el denominador son divisibles entre 5, por lo tanto, $\frac{15\div5}{25\div5}=\frac{3}{5}$ .
$\frac{18}{30}$	$\frac{9}{15}$ y $\frac{3}{5}$	Primero dividir entre 2: $\frac{18\div2}{30\div2}=\frac{9}{15}$ , luego ambos tienen tercera $\frac{9\div3}{15\div3}=\frac{3}{5}$ .

Ejercicio #3

Problema a resolver: comprobar si las fracciones son equivalentes utilizando los métodos conocidos.

A) $\frac{12}{15}\$ y $\frac{4}{5}$ .
B) $\frac{4}{18}$ y $\frac{2}{9}$ .

Ver solución

Fracciones A: $\frac{12}{15}\$ y $\frac{4}{5}$ .

Solución: utilizando el método de división se tiene:

$\frac{12}{15}=\left(12\div15\right)=0,8$

$\frac{4}{5}=\left(4\div5\right)=0,8$

Ambas fracciones son equivalente, ya que el resultado decimal de ambas fracciones es igual a 0,8.

Fracciones B: $\frac{4}{18}$ y $\frac{2}{9}$ .

Solución: utilizando el método de productos cruzados se tiene:

$\left(4\ast9\right)=\left(18\ast2\right)$

$36 = 36$

Ambas fracciones son equivalentes, el producto de sus extremos y sus medios son iguales.

Bibliografía:
Matemáticas para 1er. curso de ESO. (2016). Santillana. Maza, J. M. Á. C. (2015). Matemática de 1° ESO. Grupo Editorial Bruño. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matematica 6° grado. Libro del estudiante. EDINUN Ediciones Nacionales Unidas.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Fracciones equivalentes. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/fracciones-equivalentes/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 08 de diciembre de 2024.

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