Función inversa

Definición

La función inversa o recíproca es aquella función que se obtiene invirtiendo la función original.

La función inversa se denota como con respecto a la función original «f».

Donde, el dominio de la función original se convierte en el rango de la función inversa y el rango de la función dada se convierte en el dominio de la función recíproca.

La definición se puede ilustrar para su entendimiento usando un diagrama de flechas:

La función inversa devuelve el valor original para el cual una función dio la salida. Entonces, es la inversa de f sí se da que:

De la gráfica se sabe que: , , , , de tal manera que la inversa es: , , , .

Sin embargo, no todas las funciones tienen inversa, sólo aquellas que son «biyectivas», por lo que el recíproco de «f» ocurre si la función es uno a uno.

Para esto se verifica la prueba de la línea horizontal, donde cada elemento del rango le corresponde exactamente a un elemento del dominio.

Propiedad de la función inversa

Cualquier función debe satisfacer las siguientes propiedades de cancelación:

Esto es para toda función f uno a uno con dominio A y rango B.

Estas propiedades indican que f es la función inversa de , por lo tanto, se dice que f y son inversas entre sí.

Cálculo

La siguiente secuencia de pasos permiten encontrar la inversa de una función.

1. Para la función f(x) se le llama «y» → y = f(x).
2. Se despeja el valor de «x» en función de «y».
3. Intercambia la «x» con «y» y viceversa.
4. Finalmente, la función resultante

Aplicar las propiedades de la función inversa permite comprobar que el resultado obtenido de es correcto.

Tipos

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas son las recíprocas a las funciones trigonométricas.

También se conocen como función de arco o funciones antritrigonometricas, ya que producen la longitud del arco, que se requiere para obtener particular.

Las funciones trigonométricas inversas incluyen:

• Arco seno: es la función inversa del seno arcsen(x) = a, entonces sen(a) = x. Se abrevia como arcsen o sen^-1.
  Como es seno no es una función biyectiva para el conjunto de los reales, condición necesaria para tener función inversa, entonces se restringe el codominio al intervalo para que la función sea biyectiva.
• Arco coseno: que es el recíproco del coseno. Se abrevia como arccos o cos^-1: arccos(x) = a, entonces cos(a) = x.
  Para que el coseno sea biyectivo y poder tener inversa se restringe el codominio al intervalo [0, π].
• Arco tangente: es la función inversa a la tangente, donde se cumple que arctan(x) = a, entonces tan(a) = x. Su abreviatura es arctan o tan^-1.
  Se restringe el codominio al intervalo para que la función tangente sea biyectiva y poder hallar su inversa.

Funciones hiperbólicas inversas

Al igual que las funciones trigonométricas inversas, las funciones hiperbólicas inversas son las inversas de las funciones hiperbólicas.

Las funciones hiperbólicas inversas incluyen sinh^-1, cosh^-1, tanh^-1, csch^-1, coth^-1 y sech^-1.

Todas las funciones hiperbólicas excepto cosh(x) son funciones de uno a uno, por lo tanto; es necesario restringir su codominio para poder hallar su inversa.

Funciones logarítmicas inversas y función exponencial inversa

Las funciones logarítmicas naturales son inversas de las funciones exponenciales. Entonces:

exp(x) = y ⇔ log(y) = x

Puesto que para cada número real x existe uno y solo un y tal que log(y) = x, entonces el dominio de la función exponencial está formado por todos los números reales.

log (exp (x)) = x

exp (log(x)) = x

Ejercicio de ejemplo

Hallar la inversa de la función f(x) = 2x + 2

Ver solución

Para hallar la inversa se aplican cada uno de los pasos explicados anteriormente.

Paso	Resultado
A f(x) se le llama «y» → y = f(x)	y = 2x + 2
Se despeja el valor de «x» en función de «y»	y – 2 = 2x  →   Ordenar los términos
Intercambia la «x» con «y» y viceversa.
La función resultante

Para comprobar que el resultado obtenido es cierto se aplica la propiedad de la función inversa

f(x) se sustituye por la función original y la «x» de la igualdad por la función inversa obtenida.

Se comprueba que el resultado es correcto, por lo tanto, la función inversa de