Enciclopedia Iberoamericana
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Hipotenusa
Lado más largo de un triángulo rectángulo y que es opuesto al ángulo recto.
Definición
En geometría se conoce como la hipotenusa al lado más largo de un triángulo rectángulo y que es opuesto al ángulo recto.
La hipotenusa se define a partir del Teorema de Pitágoras que se aplica para los triángulos rectángulos. Este teorema establece la relación que existe entre la hipotenusa y los otros dos lados, conocidos como catetos.
La manera más fácil de reconocer la hipotenusa en un triángulo rectángulo, es ubicando el lado opuesto al ángulo recto. Además, el ángulo recto se forma por la unión de los catetos, que se cruzan de manera perpendicular.
En el triángulo rectángulo del ejemplo, se distingue la hipotenusa que es el segmento de recta 
![\overline{BC}\](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Coverline%7BBC%7D%5C&bg=ffffff&fg=000000&s=1 "\overline{BC}\")
¿Cómo hallar la hipotenusa?
La hipotenusa se puede calcular de diferentes maneras, la más conocida es mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras. Otros métodos, en ocasiones, son pasos previos para utilizar el teorema.
Por el Teorema de Pitágoras
- Artículo principal: Teorema de Pitágoras.
La hipotenusa se puede hallar utilizando la fórmula que se deduce del Teorema de Pitágoras, por ejemplo, en el triángulo rectángulo 
Por tanto, la ecuación de la hipotenusa es: 
Hipotenusa en un triángulo rectángulo isósceles
En un triángulo isósceles rectángulo la ecuación para hallar la hipotenusa, según el teorema de Pitágoras se simplifica a:
donde «a» es el cateto.
Esta ecuación se deduce, como se mencionó, del teorema de Pitágoras de la siguiente manera. Considerando que el triángulo isorectángulo tiene los catetos de igual longitud (a = b), se demuestra que:
Aplicando propiedad de radicales
![c=\sqrt2\ast a\](https://s0.wp.com/latex.php?latex=c%3D%5Csqrt2%5Cast+a%5C+&bg=ffffff&fg=000000&s=1 "c=\sqrt2\ast a\")
Por funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas, seno, coseno y tangente, relacionan los lados de un triángulo rectángulo en función de alguno de los ángulos agudos del mismo.
De esta manera, conocido un cateto y uno de los ángulos agudos del triángulo se puede hallar la hipotenusa.
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Considerando el ángulo α:  ![\tan{\alpha=\frac{CO}{CA}=\frac{b}{a}}\](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ctan%7B%5Calpha%3D%5Cfrac%7BCO%7D%7BCA%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%7D%5C&bg=ffffff&fg=000000&s=1 "\tan{\alpha=\frac{CO}{CA}=\frac{b}{a}}\") Considerando el ángulo δ:  ![\tan{\alpha=\frac{CO}{CA}=\frac{a}{b}}\](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Ctan%7B%5Calpha%3D%5Cfrac%7BCO%7D%7BCA%7D%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%7D%5C&bg=ffffff&fg=000000&s=1 "\tan{\alpha=\frac{CO}{CA}=\frac{a}{b}}\") |
Ejercicios resueltos
Ejercicio #1
Problema a resolver: hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que a = 16 cm. y b = 20 cm.
Ver solución
Del triángulo rectángulo se conocen las medidas de los catetos, por lo que se aplica la ecuación:
Sustituyendo los valores:
El valor de la hipotenusa “c” es de 25,6 centímetros.
Ejercicio #2
Problema a resolver: hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si se sabe que la amplitud del ángulo α = 53° y el CO = 4 cm., como se muestra en la figura.
Ver solución
La razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa es el seno, por tanto:
Sustituyendo los valores:
La hipotenusa mide 5 centímetros.
Ejercicio #3
Problema a resolver: se conoce el área de un triángulo rectángulo que es 30 mts2., y la medida de la base es 12 mts. Calcular la hipotenusa.
Ver solución
Para este caso sólo se conoce el área y un cateto, por lo que partiendo de la fórmula del área para un triángulo se puede hallar la medida del otro cateto.
Para todo triángulo el área es: 
La medida de la altura (h) es de 5 mts. Conocido los dos catetos, se aplica la ecuación de la hipotenusa según el Teorema de Pitágoras.
La medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es de 13 mts.
| Bibliografía: |
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Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)
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