Información del artículo

Fecha de publicación

mayo 23, 2022

Última edición

mayo 6, 2024

Autor

Tiempo estimado de lectura

5 minutos

Compartir

Facebook Icon

Citar el artículo

Haude Medina (2022). Hipotenusa. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/hipotenusa/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 28 de mayo de 2024.
Copiar cita
¡Cita copiada a portapapeles!

Contenidos

Hipotenusa

Lado más largo de un triángulo rectángulo y que es opuesto al ángulo recto.

5m
·
Tabla de contenidos:

Definición

Publicidad

En geometría se conoce como la hipotenusa al lado más largo de un triángulo rectángulo y que es opuesto al ángulo recto.

La hipotenusa se define a partir del Teorema de Pitágoras que se aplica para los triángulos rectángulos. Este teorema establece la relación que existe entre la hipotenusa y los otros dos lados, conocidos como catetos.Imagen de una hipotenusa.

La manera más fácil de reconocer la hipotenusa en un triángulo rectángulo, es ubicando el lado opuesto al ángulo recto. Además, el ángulo recto se forma por la unión de los catetos, que se cruzan de manera perpendicular.

En el triángulo rectángulo del ejemplo, se distingue la hipotenusa que es el segmento de recta \overline{AB} y los segmentos \overline{BC}\\overline{CA} los catetos que se intersecan de manera perpendicular formando el ángulo recto.

¿Cómo hallar la hipotenusa?

La hipotenusa se puede calcular de diferentes maneras, la más conocida es mediante la aplicación del Teorema de Pitágoras. Otros métodos, en ocasiones, son pasos previos para utilizar el teorema.

Por el Teorema de Pitágoras

La hipotenusa se puede hallar utilizando la fórmula que se deduce del Teorema de Pitágoras, por ejemplo, en el triángulo rectángulo \triangle ABC, las medidas de sus lados son: “a”, “b”, “c”. Así, la medida de la hipotenusa es “c”, el cateto1 su medida será “a” y el cateto2 con medida “b”.

Por tanto, la ecuación de la hipotenusa es: c=\sqrt{a^2+b^2}.

Publicidad, continua debajo

Cálculo de la hipotenusa a través del Teorema de Pitágoras.

Hipotenusa en un triángulo rectángulo isósceles

En un triángulo isósceles rectángulo la ecuación para hallar la hipotenusa, según el teorema de Pitágoras se simplifica a:

c=\sqrt2\ast a

donde «a» es el cateto.

Esta ecuación se deduce, como se mencionó, del teorema de Pitágoras de la siguiente manera. Considerando que el triángulo isorectángulo tiene los catetos de igual longitud (a = b), se demuestra que:

c=\sqrt{a^2+a^2}

c=\sqrt{{2\ast a}^2}

Aplicando propiedad de radicales

c=\sqrt2\ast a\

Hipotenusa de un triángulo isósceles.

Por funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas, seno, coseno y tangente, relacionan los lados de un triángulo rectángulo en función de alguno de los ángulos agudos del mismo.

De esta manera, conocido un cateto y uno de los ángulos agudos del triángulo se puede hallar la hipotenusa.

Hipotenusa por funciones trigonométricas Considerando el ángulo α:
\sin{\alpha=\frac{CO}{H}=\frac{b}{c}}\rightarrow c=\frac{b}{\sin{\alpha}}
\cos{\alpha}{=\frac{CA}{H}=\frac{a}{c}}\rightarrow c=\frac{a}{\cos{\alpha}}
\tan{\alpha=\frac{CO}{CA}=\frac{b}{a}}\Considerando el ángulo δ:
\sin{\delta}{=\frac{CO}{H}=\frac{a}{c}}\rightarrow c=\frac{a}{\sin{\alpha}}
\cos{\delta}{=\frac{CA}{H}=\frac{b}{c}}\rightarrow c=\frac{b}{\cos{\alpha}}
\tan{\alpha=\frac{CO}{CA}=\frac{a}{b}}\

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que a = 16 cm. y b = 20 cm.

Ejercicio 1 de hipotenusa

Ver solución

Del triángulo rectángulo se conocen las medidas de los catetos, por lo que se aplica la ecuación: c=\sqrt{a^2+b^2}.

Sustituyendo los valores:

c=\sqrt{{16}^2+{20}^2}=\sqrt{256+400}=\sqrt{656}

c=25,6\ cm

El valor de la hipotenusa “c” es de 25,6 centímetros.

Ejercicio #2

Problema a resolver: hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, si se sabe que la amplitud del ángulo α = 53° y el CO = 4 cm., como se muestra en la figura.

Imagen gráfico 2 ejercicio hipotenusa

Ver solución

La razón trigonométrica que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa es el seno, por tanto:

\sin{\alpha=\frac{CO}{H}=\frac{b}{c}}, despejando c=\frac{b}{\sin{\alpha}}

Sustituyendo los valores:

c=\frac{4}{sin 53\circ} = \frac{4}{0,799}

c=5\ cm

La hipotenusa mide 5 centímetros.

Ejercicio #3

Problema a resolver: se conoce el área de un triángulo rectángulo que es 30 mts2., y la medida de la base es 12 mts. Calcular la hipotenusa.

Imagen de una hipotenusa en el ejercicio 3

Ver solución

Para este caso sólo se conoce el área y un cateto, por lo que partiendo de la fórmula del área para un triángulo se puede hallar la medida del otro cateto.

Para todo triángulo el área es: A=\frac{b\ast h}{2}, para un triángulo rectángulo la base y la altura coinciden con los catetos, entonces se puede hallar “h” (altura) despejando de la fórmula del Área.

A=\frac{b\ast h}{2}\longrightarrow h=\frac{2A}{b}

h=\frac{2\ast30}{12}=\frac{60}{12}\rightarrow h=5\ mts

La medida de la altura (h) es de 5 mts. Conocido los dos catetos, se aplica la ecuación de la hipotenusa según el Teorema de Pitágoras.

c=\sqrt{a^2+b^2}\rightarrow c=\sqrt{h^2+b^2}

c=\sqrt{5^2+{12}^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}

c=13\ mts

La medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es de 13 mts.

Bibliografía:
  • Bruño, G.M. (s/f ). Elementos de la Geometría. Editorial Bouret.
  • Iriondo, M. (s/f). Aprendiendo Matemáticas. Instituto Universitario Aeronáutico. Córdoba – Argentina.
  • Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador.
  • Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

Compartir:
Facebook Icon
Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

Citar este artículo:

Al citar este artículo, reconoces la autoría original, previenes plagios y brindas a tus lectores la posibilidad de acceder a las fuentes originales para obtener más información o verificar datos.

Haude Medina (2022). Hipotenusa. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/hipotenusa/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 28 de mayo de 2024.
Copiar cita
¡Cita copiada a portapapeles!
¡Enlace copiado a portapapeles!