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Logaritmos

Potencia a la que se debe elevar una base para obtener ese número.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Un logaritmo de un número se define como la potencia a la que se debe elevar una base para obtener ese número.

Expresado matemáticamente se tiene:

$\log_b{a}=x\Longleftrightarrow b^x=a$

En la expresión “log” es el logaritmo y se lee como «logaritmo de “a” en base “b” es igual “x”».

Donde: “a” se llama argumento y “b” se le conoce como base siendo ambos números reales positivos, mientras que “x” es el resultado y es un número real.

La definición de logaritmo se puede entender de manera sencilla a través de un ejemplo.

Se necesita hallar el $\log_5{625}$ que se lee como «logaritmo de 625 en base 5 es igual …».

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Entonces, encontrar la solución consiste en hallar cuantas veces se debe multiplicar la base (5) para que dé como resultado el argumento (625). Es decir, $5^x=625$ .

Esto sería: $5 x 5 x 5 x 5 = 625, \Longleftrightarrow \ 5^4=625$ , el exponente es 4, que es la cantidad de veces que se multiplica la base para obtener el resultado.

El exponente hallado es entonces el resultado del logaritmo.

$\log_b{a}=x\Longleftrightarrow b^x=a$

$\log_5{625}=4\Longleftrightarrow5^4=625$

De esto, se puede entender el logaritmo como lo inverso a la potenciación, demostrando que existe una relación entre los logaritmos y los exponentes.

Propiedades

Hay ciertas reglas o propiedades con las cuales se pueden realizar operaciones que permiten simplificar un logaritmo, expandir o comprimir un grupo de logaritmos en uno solo.

Logaritmo de 1: el valor de $\log_b\ 1=0$ independientemente de la base es 0. Esto se debe a que por propiedad de potencia $b^0=1$ .
Regla del producto: la multiplicación de dos valores logarítmicos es igual a la suma de sus logaritmos individuales: $\log_b{(mn)}\ =\log_b\ m\ +\log_b\ n$ .
Regla de división: la división de dos valores logarítmicos es igual a la diferencia de cada logaritmo: $\log_b{(m/n)}\ =\log_b\ m-\log_b\ n$ .
Regla de la potencia o Regla exponencial: el logaritmo de “m” con un exponente racional es igual al exponente por su logaritmo: $\log_b{(m^n)}\ ={n\ast\log}_b\ m$ .
Cambio de regla base: la base de un logaritmo se puede cambiar usando la propiedad: $\log_b\ m=\log_a{m/\log_a{b}}$ .
Derivado de registro: si la función $f\left(x\right)=\log_b{x}$ , entonces la derivada de f(x) viene dada por $f\left(x\right)=1/(xln(b))$ .
Integral de registro: $\int\log_b{\left(x\right)dx=x(\log_b{\left(x\right)-1/\ln{(b))+C}}}$ .

Tipos

Por lo general se hace referencia a dos tipos de logaritmos, estos son:

Logaritmo natural: el logaritmo natural se llama logaritmo en base “e”, es decir, un logaritmo natural significa ${log}_e$ ; donde, “e” representa la constante de Euler que es aproximadamente 2,71828.
El logaritmo natural define cuántos se debe multiplicar «e» para obtener el resultado requerido. Por lo general se denota como «ln» en vez de ${log}_e$ .
Logaritmo común: este tipo de logaritmo define cuántas veces se debe multiplicar el número 10 para obtener el resultado requerido.
Es también conocido como logaritmo en base 10. Se representa como ${log}_{10}$ o simplemente como “log”.

Ejercicios

Ejercicio #1

Aplicando la propiedad de los logaritmos hallar el valor de “x”.

$\log_3{(x)}$ = $\log_3{(3)+\log_3{(9}})$
$\log_2{(x)}$ = $\log_2{(36)-\log_3{(9)}}$
$\log_5{(x)}$ = ${3\log}_5{(5)}$

Ver solución

Punto a)

$\log_3{(x)}$ = $\log_3{(3)+\log_3{(9}})$

Aplicando la regla del producto se tiene que $\log_b{\left(mn\right)}=\log_b\ m\ +\log_b\ n$ , por lo tanto $\log_3\ (3)\ +\log_3\ (9)=\log_3{\left(3\ast9\right)=}\log_3\left(27\right),\$ por lo tanto $x=27$

Punto b)

$\log_2{(x)}$ = $\log_2{(36)-\log_3{(9)}}$

Para este caso se aplica el logaritmo del cociente $\log_b{(m/n)}\$ = $\log_b\ m-\log_b\ n$ .

Resolviendo se tiene $\log_2\ \left(36\right)-\log_2\ \left(9\right)=\log_2{\left(\frac{36}{9}\right)=\log_2\left(4\right).\ \ }$

El valor de x = 4.

Punto c)

$\log_5{(x)}$ = ${3\log}_5{(5)}$

Para hallar el valor de “x” se aplica la propiedad de la potencia $\log_b{(m^n)}\ ={n\ast\log}_b\ m$ .

Ahora se tiene que ${3log}_5{(5)}={log}_5{(5^3)}={log}_5{(125)}$

Siendo el valor de x = 125.

Ejercicio #2

Hallar los siguientes logaritmos

$\log_4{(1024)}$
$\log{(1000)}$

Ver solución

Punto a)

$\log_4{(1024)}$ : Se multiplica la base 4 tantas veces hasta hallar 1024.

4 x 4 = 16

16 x 4 = 64

64 x 4 = 256

256 x 4 = 1024

Las veces que se multiplicó la base hasta obtener el resultado fue 5 veces (45 = 1024).

Resultado: se tiene que $\log_4{(1024)}=5$ .

Punto b)

$\log{(1000)}$ : Este es un logaritmo común, se entiende que la base es 10.

Se multiplica el 10 tantas veces como sea necesario hasta hallar el número 1000.

10 x 10 = 100

100 x 10 = 1000

Las veces que se multiplicó el 10 hasta obtener el resultado fue 3 veces (103 = 1000).

Resultado: se tiene que $\log{\left(1000\right)=3}$ .

Bibliografía:
1977. Álgebra Elemental. Ediciones Cultural Venezolana. Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Córdoba. Universidad Jesuita. Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2006). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (Quinta Edición). Cengage Learning Editores.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2023). Logaritmos. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/logaritmos/). Última edición: febrero 2023. Consultado el 11 de diciembre de 2024.

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