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Haude Medina (2022). Matriz. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/matriz/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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Contenidos

Matriz

Conjunto de números o expresiones ordenados en forma de filas y columnas formando una matriz rectangular.

9m
·
Tabla de contenidos:

Definición

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Una matriz es un conjunto de números o expresiones ordenados en forma de filas y columnas formando una matriz rectangular.

\left[\begin{matrix}2&-3&4\\5&-1&-4\\\end{matrix}\right]

Este tipo de arreglo es conocido en su nombre en plural como matrices y se utilizan generalmente en matemática, física, economía, informática y otras áreas, para describir situaciones y problemas mediante sistemas de ecuaciones.

Las diferentes operaciones que se pueden realizar con las matrices, se utilizan para tomar decisiones correctas y conocer las posibilidades de hallar el valor de incógnitas y dar soluciones a diferentes problemas.

El tamaño de una matriz se da por el número de filas y columnas, donde puede tener “m” cantidad de filas y “n” cantidad de columnas y se le denomina matriz m-por-n (escrito m x n), donde m, n Î  y se representa como Mmxn(K). Donde (K) es el campo al que pertenecen las entradas.

Elementos de una matriz en matemática

Tipos y clasificación

Las matrices se pueden clasificar en varios tipos en función del número de elementos y por la forma como se disponen estos elementos.

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  • Matriz fila: es aquella que está formada por una sola fila. Por ejemplo;
  • Matriz columna: es una matriz que tiene una sola columna. Se tiene el ejemplo de:
  • Matriz cuadrada: cuando una matriz tiene el mismo número de filas y columnas se conoce como matriz cuadrada. Para este caso m = n, En este caso, la dimensión se denomina orden, cuyo valor coincide con el número de filas y de columnas.
    Como se muestra en el ejemplo la matriz es de orden 2, por tener 2 filas y dos columnas. 
  • Matriz rectangular: tiene distinto número de filas que de columnas (m ≠ n), siendo su dimensión mxn. Un ejemplo de este tipo de matriz es:
  • Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no estén situados en la diagonal principal son ceros. En el ejemplo mostrado, los números 2, 4, 2; están ubicados en la diagonal principal de la matriz y los 0 se ubican por encima y debajo de ellos. Se tiene que A=\left[\begin{matrix}2&0&0\\0&4&0\\0&0&2\\\end{matrix}\right]
  • Matriz identidad: es un tipo de matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son 1. A=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]
  • Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. A=\left[\begin{matrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\\\end{matrix}\right]
  • Matriz triangular: es una matriz cuadrada la cual tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal. A diferencia de la matriz diagonal, el término triangular se refiere a la estructura que forman los 0 dentro de la matriz, distinguiéndose dos tipos:
    • Matriz triangular superior: en este tipo de matriz los ceros forman un triángulo ubicándose por debajo de la diagonal principal. A=\left[\begin{matrix}2&1&-4\\0&4&3\\0&0&2\\\end{matrix}\right]
    • Matriz triangular inferior: para este caso los ceros forman un triángulo ubicándose por encima de la diagonal principal. \ B=\left[\begin{matrix}2&0&0\\3&4&0\\-1&1&2\\\end{matrix}\right]
  • Matriz traspuesta: se llama matriz traspuesta de a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas (o viceversa) de una matriz dada.

    A=\left[\begin{matrix}2&3&0\\1&2&0\\3&5&6\\\end{matrix}\right]\ \ \ \ \ \ \ \ A^t=\left[\begin{matrix}2&1&3\\3&2&5\\0&0&6\\\end{matrix}\right]

  • Matriz nula: es una matriz donde todos sus elementos son 0.

Partes

Una matriz se representa con letra mayúscula y sus elementos se pueden encerrar entre paréntesis, llaves o corchetes.

  • Columnas y filas: la matriz está ordenada en columnas que son los renglones verticales, mientras que las filas son las hileras horizontales.
  • Elementos: los números que conforman una matriz se denominan elementos o entradas de la matriz, estos pueden ser sólo números, variables o funciones.

Se denotan con letra minúscula con subíndice de dos cifras, la primera es el elemento de la i – ésima fila y la j -ésima columna de la matriz

Partes de una matriz

Para la entrada  se lee “a subíndice uno-dos”, o sólo “a uno-dos”, el primer subíndice, 1 especifica la fila, y el segundo, 2 indica la columna.

Rango

Se define el rango de una matriz como el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes. Eso significa que el rango de una matriz siempre será menor o igual al número de sus filas o columnas. Se denota como, Ran(A);  Rg(A); Rango(A).

Las filas (o columnas) de una matriz se dice que son independientes, cuando se tienen tres o más filas o columnas y ninguna de ellas se puede escribir como combinación lineal de las otras.

El valor máximo del rango que puede tener una matriz es el menor de los números correspondientes al número de filas y columnas, es decir, si una matriz tiene dimensión 3×4, el valor máximo que puede alcanzar el rango de dicha matriz es 3, pues este es el menor valor entre filas y columnas (3,4).

Sin embargo, la matriz puede ser de rango 1; 2 ó 3, como máximo para el ejemplo dado.

El rango de una matriz se puede hallar por varios métodos, por el método de determinantes o por el método de Gauss.

Por ejemplo; se tiene la matriz A=\left[\begin{matrix}2&3&-1\ \ \ \ 5\ \\3&0&0\ \ \ \ \ 2\\4&6&-2\ \ \ \ 10\\\end{matrix}\right], La matriz A3x4, el rango es 2 debido a que la fila número 3 es dependiente de la fila 1 (una es el doble menos 1 de la otra), por lo tanto, la matriz A tiene sólo 2 filas independientes.

Operaciones

Suma de matrices

La suma de matrices solo puede ser posible si el número de filas y columnas de ambas matrices es el mismo y se suman los elementos correspondientes, es decir; si se tiene la matriz A y B, la suma de A + B = aij + bij.

\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\\\end{matrix}\right]

Resta de matrices

Para esta operación matemática de igual manera el número de filas y columnas de las matrices debe ser iguales y para el caso en particular se restan los elementos correspondientes.  Si se tiene la matriz A y B, la resta de A – B = aij – bij.

Multiplicación de un número por una matriz

Para el caso del producto de un número cualquiera por una matriz, se debe multiplicar el número por cada una de las entradas o elementos de la matriz.

La multiplicación de matrices

Se pueden multiplicar matrices sólo si el número de columnas en la primera matriz y el número de filas en la segunda matriz son iguales.

La matriz resultante tendrá el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Si se tienen las matrices A1x3 y B3x1, el producto de A*B es la suma del primer elemento de A por el primero de B más el segundo elemento de A por el segundo de B más el tercer elemento de A por el tercero de B.

\left[\begin{matrix}1&-2&3\\\end{matrix}\right]\ast\left[\begin{matrix}4\\5\\6\\\end{matrix}\right]=\left[1\ast4-2\ast5+3\ast6\right]=\left[4-10+18\right]=12

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Se tienen las matrices A y B, realizar la operación matemática de A + B.

A=\left[\begin{matrix}2&2&1\\3&2&-1\\\end{matrix}\right]\ y\ B=\left[\begin{matrix}3&3&0\\-2&4&-1\\\end{matrix}\right]

Ver solución

\left[\begin{matrix}2&2&1\\3&2&-1\\\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}3&3&0\\-2&4&-1\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}2+3&2+3&1+0\\3-2&2+4&-1-1\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}5&5&1\\1&6&-2\\\end{matrix}\right]

El resultado de A + B = \left[\begin{matrix}5&5&1\\1&6&-2\\\end{matrix}\right]

Ejercicio #2

Hallar el producto de las matrices A y B.

A=\left[\begin{matrix}2&3\\-1&0\\\end{matrix}\right]\ y\ \ B=\left[\begin{matrix}1&1&2\\-1&3&3\\\end{matrix}\right]

Ver solución

A=\left[\begin{matrix}2&3\\-1&0\\\end{matrix}\right]\ast\left[\begin{matrix}1&1&2\\-1&3&3\\\end{matrix}\right]

Las operaciones matemáticas para calcular los elementos de la matriz resultante se muestran a continuación:

c_{11}=a_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}=\left(2\ast1\right)+\left(3\ast-1\right)=2-2=-1
c_{12}=a_{11}\ast b_{12}+a_{12}\ast b_{22}=\left(2\ast1\right)+\left(3\ast3\right)=2+9=11
c_{13}=a_{11}\ast b_{13}+a_{12}\ast b_{23}=\left(2\ast2\right)+\left(3\ast3\right)=4+9=13\
c_{21}=a_{21}\ast b_{11}+a_{22}\ast b_{21}=\left(-1\ast1\right)+\left(0\ast-1\right)=-1+0=-1
c_{22}=a_{21}\ast b_{12}+a_{22}\ast b_{22}=\left(-1\ast1\right)+\left(0\ast3\right)=-1+0=-1\
c_{23}=a_{21}\ast b_{13}+a_{22}\ast b_{23}=\left(-1\ast2\right)+\left(0\ast3\right)=-2+0=-2

Ordenando cada elemento en la matriz resultante se obtiene:

A\ast B=\left[\begin{matrix}-1&11&13\\-1&1&-2\\\end{matrix}\right]

Bibliografía:
  • E. y Paul. R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía; con la colaboración de Víctor Ibarra Mercado. Editorial Prentice Hall. Quinta edición. México.
  • Universidad Nacional Autónoma de México. (2005). Apuntes para la asignatura de matemáticas básicas. Fondo editorial FCA. México.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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