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Mediana de un triángulo

Recta que se traza desde el punto medio de uno de los lados hasta su vértice opuesto.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

La mediana de un triángulo es la recta que se traza desde el punto medio de uno de los lados hasta su vértice opuesto.

La mediana es también conocida como “transversal de gravedad” y es una de las líneas notables de un triángulo junto a la altura, bisectriz y mediatriz.

En el triángulo ABC de la figura, se trazan tres medianas que corresponden a los segmentos de recta $\overline{AE}$ , $\overline{BF}$ y $\overline{CD}$ .

Como se observa todas las medianas trazadas se cruzan en un punto que se conoce como “baricentro”, “gravicentro” o “centro de gravedad” del triángulo y está representado por la letra G.

El baricentro divide cada mediana en la proporción de 2:1, es decir; si se toma la mediana $\overline{AE}$ , la medida de la porción de recta que va desde el vértice A hasta el baricentro $\overline{AG}$ es el doble de la medida del segmento que va desde el punto E al punto G $\overline{EG}$ .

Por ejemplo; si $\overline{EG}$ mide 4,5 unidades $\overline{AG}$ mide el doble que sería 9 unidades. La razón

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$\frac{\overline{AG}\ }{\overline{GE}}=\frac{\overline{BG}\ }{\overline{GF}}=\frac{\overline{CG}\ }{\overline{GD}}=\frac{2}{1}$ y $\frac{\overline{AG}\ }{\overline{AE}}=\frac{\overline{BG}\ }{\overline{BF}}=\frac{\overline{CG}\ }{\overline{CD}}=\frac{2}{3}$ además $\frac{\overline{GE}\ }{\overline{AE}}=\frac{\overline{GF}\ }{\overline{BF}}=\frac{\overline{GD}\ }{\overline{CD}}=\frac{1}{3}$

Propiedades

La mediana de un triángulo posee diferentes propiedades que la permiten identificar fácilmente:

Para cualquier tipo de triángulo se pueden trazar tres medianas, cada una parte desde un vértice hasta el punto medio de su lado opuesto.
Cada mediana “Biseca” el lado opuesto del vértice, dividiéndolo en dos partes iguales.
El punto donde concurren las tres medianas forma el baricentro del triángulo.
Cada mediana divide al triángulo en dos más pequeños que tienen áreas iguales.
Las tres medianas dividen el triángulo en 6 triángulos más de menor tamaño de área similar.
La suma de dos lados de un triángulo es mayor que la mediana trazada desde el vértice hasta el lado opuesto.
Independientemente del tipo de triángulo, sus tres medianas se encuentran en un solo punto.
La razón en la que se cortan las medianas en el punto “G” (Gravicentro) es 2:1.
El Gravicentro de cualquier triangulo siempre se encuentra dentro del triángulo.

¿Cómo hallar la mediana?

La mediana de un triángulo se puede calcular usando una fórmula básica que se aplica a las tres medianas.

Estas ecuaciones son conocidas como “El Teorema de la Mediana” o “Teorema de Apolonio” y refiere que la longitud de la mediana (M) de un triángulo y la longitud de sus lados (a, b, c) están relacionadas de la siguiente manera:

$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$
$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}$
$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

Para indicar cada una de las fórmulas, se denotarán las medianas por m_a, m_b, m_c y los lados del triángulo por a, b, c.

Hay casos particulares donde las fórmulas indicadas pueden simplificarse según algunos tipos de triángulo, estas consideraciones se aplican para los triángulos isósceles, rectángulo y equilátero.

Fórmulas de las medianas de un triángulo isósceles

El triángulo isósceles tiene dos lados iguales, donde b = c. Las fórmulas se simplifican de la manera siguiente:

$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{4b^2-a^2}$
$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+b^2}$
$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+b^2}$
${m_b=m}_c$

Fórmulas de las medianas de un triángulo equilátero

Como el triángulo equilátero tiene todos sus lados iguales (a = b = c), las tres medianas son congruentes (m_a = m_b= m_c).

$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$
$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2a^2-a^2}$
$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{3a^2}$
$m_a=\frac{a\sqrt3}{2}$

Fórmulas de las medianas de un triángulo rectángulo

Para el triángulo rectángulo la hipotenusa corresponde al lado $\overline{BC}$ y se cumple el Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c², b² = a² – c², c² = a² – b²

Despejando en las respectivas ecuaciones de la mediana se obtiene:

$m_a=\frac{a}{2}$
$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+3c^2}$
$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+3b^2}$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

El triángulo de la figura muestra la medida de cada uno de sus lados. Hallar la mediana que se traza desde el vértice P.

Ver solución

Para hallar la mediana m_p que se traza desde el vértice P hasta el lado $\overline{QR}$ , se utilizará la fórmula:

$m_p=\frac{1}{2}\sqrt{2r^2+2q^2-p^2}$

Sustituyendo los datos proporcionados:

$m_p=\frac{1}{2}\sqrt{2\left(8\right)^2+2\left(11\right)^2-6^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2\left(64\right)+2\left(121\right)-36}$

$m_p=\frac{1}{2}\sqrt{128+242-36}$

$m_p=\frac{1}{2}\sqrt{334}=\frac{1}{2}(18,23)$

$m_p\approx9,13\ cm$

Ejercicio #2

La mediana de un triángulo equilátero es de 12 pulgadas. ¿Cuál es la longitud de los lados del triángulo?

Ver solución

Como se trata de un triángulo equilátero todos sus lados son congruentes, por lo tanto, se aplica la fórmula:

$m_a=\frac{a\sqrt3}{2}$

${2m}_a=a\sqrt3\rightarrow a=\frac{{2m}_a}{\sqrt3}$

$a=\frac{2(12)}{1,73}=\frac{24}{1,73}\rightarrow a\approx13,87\ pulgadas$

La longitud de cada uno de los lados del triángulo es de aproximadamente 13,87 pulgadas.

Bibliografía:
Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones. Posamentier, A., & Lehmann, I. (2012). The secrets of triangles. Prometheus Books.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Mediana de un triángulo. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/mediana-de-un-triangulo/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 11 de septiembre de 2024.

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