Multiplicación de polinomios

Definición

La multiplicación de polinomios es un proceso que se usa para obtener el producto de dos o más polinomios.

Para realizar la operación algebraica de la multiplicación entre polinomios se deben utilizar diferentes reglas de la matemática como:

• La propiedad distributiva de la multiplicación
• Regla de los signos para la multiplicación. Al multiplicar signos iguales el resultado es positivo (+) * (+) = (+) y (-) * (-) = (+) y el producto de signos diferentes da como resultado signo negativo, donde; (+) * (-) = (-) y (-) * (+) = (-).
• Regla de los exponentes para la multiplicación. La cual refiere que para multiplicar potencias de igual base se escribe la misma base y se suman los exponentes. a^m * aⁿ = a^m+n.
• Para multiplicar más de dos polinomios se aconseja aplicar la propiedad asociativa y conmutativa.

En resumen, el proceso de multiplicación de polinomios consiste en multiplicar cada uno de los términos del primer polinomio con cada término del segundo polinomio y luego sumar los términos semejantes para simplificar la expresión algebraica resultante.

Si se consideran los polinomios (3y – x²) * (-2y² + 2x³) el resultado se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación para cada término del primer polinomio.

Resolución

La multiplicación de polinomios se puede dar entre un coeficiente y un polinomio, entre un monomio y un polinomio o entre polinomios de varios términos.

Cualquiera que sea el caso, el proceso siempre es el mismo: multiplicar los monomios de uno de los polinomios (incluidos los signos) por todos los monomios del otro polinomio.

Para multiplicar cada monomio se multiplican los coeficientes, los signos y las variables aplicando la propiedad de los exponentes para la multiplicación y por último se simplifica de ser necesario.

El polinomio resultante siempre será de mayor que el grado de cualquiera de los dos polinomios originales.

Así mismo, para el producto de polinomios estos se pueden ordenar de forma horizontal o vertical, para cualquiera de los dos casos el resultado obtenido debe ser el mismo.

Para una mejor comprensión del proceso de multiplicación se exponen varios casos de multiplicación.

Multiplicación de un coeficiente por un polinomio

Es el caso más sencillo dentro de la multiplicación de polinomios. Para este caso se multiplica el coeficiente por cada uno de los coeficientes de los términos del polinomio y la parte literal de cada uno de ellos permanece igual.

Por ejemplo, si se considera el caso del producto de 4*(2x – 3y), los cuales están ordenados de manera horizontal, se procede como se indica a continuación.

4(2x – 3y) = 4(2x) – 4(3y) = 8x – 12y

De haber más término se continúa el mismo proceso.

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Para este caso se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, aplicando las reglas matemáticas antes mencionadas de ser necesario.

Se puede considerar la multiplicación del monomio -3x por el polinomio (2x – xy² + y).

-3x(2x – xy² + y) = -3x(2x) + (-3x)(-xy²) + (-3x)(y)

Al multiplicar el monomio por cada término se debe considerar que su signo es negativo, por lo tanto, se aplica la regla de los signos para la multiplicación resultando:

-6x² – 3x²y² – 3xy

El producto obtenido es un polinomio con la misma cantidad de términos del polinomio original, en el caso, que el resultado no se pueda simplificar.

Multiplicación de polinomios de dos o más términos

Estos casos se pueden tratar de multiplicación de dos binomios, de dos trinomios, de un binomio por un trinomio o de polinomios de más términos, pero el método para su resolución sigue siendo el mismo.

Si se consideran el trinomio (3a² – 5ab + 4b²) y el binomio (2a + 5b). Como la multiplicación es conmutativa, los términos pueden ser multiplicados en cualquier orden, entonces para una mejor comprensión del ejemplo se ubicará primero el binomio y luego el trinomio.

Un caso especial es cuando se multiplican dos binomios iguales, conocido como el cuadrado de un binomio. Para su resolución, en vez de aplicar el proceso conocido de multiplicación, se usa la fórmula del binomio al cuadrado (a+b)(a+b) = (a+b)² = a² + 2ab + b².

Si se multiplican más de dos polinomios, se puede aplicar la propiedad asociativa, primero se multiplican dos de los polinomios dados y el producto se multiplica por el polinomio restante.

Multiplicación de polinomios de manera vertical

Hasta ahora todos los casos de multiplicación de polinomios estudiados se han ordenado de manera horizontal, sin embargo; también se pueden ordenar de forma vertical y el resultado siempre debe ser igual. Por ejemplo se desea obtener el producto de (2m² – 3m – 2)(m² – 3)

	Se ordenan los polinomios de forma vertical uno debajo del otro.
	Se comienza a multiplicar de derecha a izquierda 3(2m2 – 3m – 2)
	Ahora se multiplica el segundo término del binomio por el trinomio m2(2m2 – 3m – 2). Como el resultado de m2(–2) es -2m2, este término se ubica debajo de su término semejante -6m2. Se debe buscar la forma de ordenar los términos semejantes uno debajo del otro es los resultados parciales obtenidos.
	Se realiza la suma de los términos para obtener el resultado de la multiplicación.

Ejercicios

Ejercicio #1

Problema a resolver: resolver el producto de los polinomios dados ordenándolos de forma vertical: -8x(-x² + 3x + 1)

Ejercicio #2

Problema a resolver: se tienen los polinomios P(x) = (6x−3y), Q(x) = (2x+5y) y T(x) = 3x. Hallar el producto de P(x) * Q(x) * T(x)