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Octágono

Polígono que tiene 8 lados e igual número de vértices y ángulos.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Un octágono se define como un polígono que tiene 8 lados e igual número de vértices y ángulos.

Octágono y sus elementos

Sus elementos son los mismos que cualquier polígono.

Los lados que son los segmentos de recta que encierran el espacio ocupado por el octágono.
Ángulos internos que se encuentran al interior de la figura geométrica y los ángulos externos ubicados fuera del octágono.
Las diagonales que son segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos
Vértices que son cada uno de los puntos donde concurren dos lados consecutivos.

Los octágonos pueden clasificarse de varias maneras, pueden ser regulares cuando todos sus lados tienen la misma longitud, por lo tanto, sus ángulos internos como los externos tienen la misma amplitud.

El otro tipo son los octágonos irregulares, que es aquel que tiene sus lados y ángulos de diferentes medidas.

Tipos de octágonos

Otra clasificación de los octágonos es según sus ángulos que los dividen el octágono convexos cuya medida de cada ángulo interno es menor a 180° y sus vértices apuntan hacia afuera del octágono.

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Mientras que los octágonos cóncavos, tiene sus ángulos interiores mayor a 180° con uno de sus ángulos apuntando hacia adentro.

Otra clasificación de los octágonos

Propiedades y características

Los octágonos tienen diferentes propiedades que se refieren a sus elementos, medida de lados y ángulos. A continuación, se mencionan sus particularidades.

La fórmula para calcular el total de la suma de los ángulos interiores de un octágono regular es 180°(n – 2). Donde «n» representa la cantidad de lados.
La suma de los ángulos interiores de un octógono regular o irregular es de 1080° y la suma de sus ángulos exteriores es 360°.
En un octágono regular cada ángulo interior tiene una medida de 135° y cada ángulo externo de 45°.
Un octágono tiene un total de 20 diagonales, de cada vértice salen o concurren 5 diagonales.
Se pueden formar 6 triángulos en un octágono regular con la ayuda de diagonales usando un vértice común.
Los octógonos regulares siempre son octágonos convexos, mientras que los octógonos irregulares pueden ser cóncavos o convexos.
Un octágono tiene 8 ejes de simetría. Sin embargo, estas líneas de simetría se pueden dibujar para octágonos regulares.

Octágono regular

Como se mencionó el octágono regular tiene sus lados y ángulos congruentes. Esto facilita la realización de algunos cálculos como el del perímetro, apotema y área.

Apotema

Este elemento del octágono es la menor distancia entre el centro del octágono y cualquiera de sus lados.

La intersección entre la apotema y el lado del polígono forma un ángulo recto. Entonces, es posible expresar la apotema como una función de la longitud del lado de la figura.

$A_p=\frac{a}{2\tan{\left(22,5\right)}}\ \Rightarrow \ \ A_p=\frac{a}{0,82842}$

Donde “a” es el lado del octágono.

También se puede emplear la fórmula: $A_p=1,2071\ast a$

Apotema de un octágono regular

La figura muestra anterior muestra la relación entre el lado del octágono y la apotema de la cual se obtiene la fórmula para calcular la apotema.

Perímetro

El perímetro de cualquier polígono es igual a la suma de cada uno de sus lados.

El octágono regular por tener todos sus lados congruentes, la fórmula se simplifica al multiplicar la medida de unos de sus lados por 8, que es el número de lados del polígono:

$P=8\ast a$

donde “a” es la medida de uno de sus lados.

Área

El área del octágono regular se puede hallar en función de la apotema y la medida de sus lados, aplicando la siguiente fórmula:

$A=4\ast a\ast A_p$

Otra manera de calcular el área del octágono regular es si se conoce únicamente la medida de sus lados “a”, para esto se utiliza la ecuación:

$A=2a^2(1+\sqrt2)$

Octágono irregular

Perímetro

Para un octágono irregular por tener al menos unos de sus lados de diferente medida, se hace necesario sumar la medida de cada uno de sus lados.

$P=l_1+l_2+l_3+l_4+l_5+l_6+l_7+l_8$

Área

Para hallar el área de un octágono irregular se emplea un método alternativo que consiste en dividir el polígono en 8 triángulos.

Una vez dividido el octágono en los 8 triángulos se halla la altura de cada uno de ellos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del octógono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.

Posteriormente se calcula el área de cada triángulo $A=\frac{L\ast h}{2}$ , para finalmente sumar cada una de las áreas de los triángulos y obtener el área del octágono irregular.

Área de un octágono irregular

Por lo tanto, el área del octágono será igual a:

$A=\frac{L_1\ast h_1}{2}+\frac{L_2\ast h_2}{2}+\frac{L_3\ast h_3}{2}+\frac{L_4\ast h_4}{2}+\frac{L_5\ast h_5}{2}+\frac{L_6\ast h_6}{2}+\frac{L_7\ast h_7}{2}+\frac{L_8\ast h_8}{2}$

Donde $L_i\$ es cada uno de los lados y $h_i$ la altura de cada triángulo.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: se tiene un octágono regular cuya medida de uno de sus lados es de 11 cm. Hallar el perímetro.

Ver solución

Por ser un octágono regular todos sus lados miden 11 cm. Aplicando la fórmula para hallar el perímetro se tiene:

$P=8\ast a=8\ast\left(11\right)=88\ cm$

El perímetro del octágono regular es de 88 cm.

Ejercicio #2

Problema a resolver: se tiene un octágono regular cuya medida de sus lados es de 14 centímetros y su apotema es de 16,9 centímetros. ¿Cuál es su área?

Ver solución

Como se conoce la medida de la apotema y de sus lados se puede utilizar la fórmula:

$A=4\ast a\ast A_p$

Sustituyendo los valores conocidos en la fórmula:

$A=4\ast\left(14\right)\ast\left(16,9\right)$

$A=946,4\ {cm}^2$

El área del octágono es de 946,4 cm².

Ejercicio #3

Para el ejemplo anterior verificar el resultado obtenido del área utilizando la fórmula: $A=2a^2(1+\sqrt2)$ .

Ver solución

Se sabe que la medida de sus lados es de 14 centímetros, sustituyendo el valor en la fórmula se tiene:

$A=2\left(14\right)^2\left(1+\sqrt2\right)=2\left(196\right)\left(2,41\right)$

$A=946,37\ {cm}^2$

Se verifica el resultado obtenido.

Bibliografía:
Almaguer, G. (2008). Matemáticas 2. Editorial Limusa. Tussy, K., Gustafson, D., Koenig, D. (2013). Matemáticas básicas. Cengage Learning.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Octágono. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/octagono/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 08 de diciembre de 2024.

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