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Haude Medina (2023). Ortocentro. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/ortocentro/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 21 de mayo de 2024.
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Ortocentro

Punto donde se intersecan las alturas de un triángulo.

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Tabla de contenidos:

Definición

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El ortocentro se define como el punto donde se intersecan las alturas de un triángulo.

Es uno de los puntos notables de los triángulos muy importante en la teoría geometría para el estudio de este tipo de figuras planas.

Figura del ortocentro.

Para el ABC, se trazan las alturas AE, BF y CD siendo el punto O donde coinciden las 3 alturas del Ortocentro.

El ortocentro también está relacionado con otros puntos importantes en el triángulo, como el baricentro (el punto donde se cortan las medianas) y el circuncentro (el punto donde se encuentra el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices).

De hecho, el ortocentro, el baricentro y el circuncentro siempre están alineados en una línea recta llamada la recta de Euler.

En la figura a continuación se representa la recta de Euler que pasa por los puntos Ortocentro (O), Baricentro (G) y Circuncentro (Cc).

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Recta de Euler

Propiedades

A continuación, se presentan algunas de las propiedades más importantes del ortocentro:

  • Una de las características más interesantes del ortocentro es que no siempre se encuentra dentro del triángulo. En algunos casos, el ortocentro puede estar fuera del triángulo.
  • El ortocentro de un triángulo equilátero, isósceles y escaleno son puntos distintos.
  • El ortocentro en un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto. En la figura se observa que las tres alturas (hA, hB y hC) concurren en el vértice (A).Ángulo del ortocentro
  • El ortocentro siempre está dentro del triángulo, excepto en el caso de un triángulo obtusángulo, donde se encuentra fuera de este.
  • En un triángulo obtusángulo, el ortocentro está fuera de la figura, en el prolongamiento del lado más largo.
  • En un triángulo acutángulo, el ortocentro está dentro de la figura.
  • Si el triángulo es equilátero, el ortocentro coincide con el centroide, el circuncentro y el incentro.
  • Un ortocentro divide una altura en diferentes partes. El producto de las longitudes de todas estas partes es equivalente para las tres perpendiculares.
  • En un triángulo órtico sus vértices están en la misma línea que el ortocentro del triángulo original. Además, el incentro del triángulo coincide con el ortocentro.

Cálculo y fórmula

Una manera para encontrar el ortocentro de un triángulo es de forma gráfica. Para ello, primero se deben trazar las tres alturas del triángulo.

Cada altura se dibuja desde un vértice del triángulo y es perpendicular al lado opuesto.

La altura puede caer dentro o fuera del triángulo. El punto donde se encuentran las tres alturas es el ortocentro.

Otra manera es analíticamente empleando fórmulas matemáticas. Para ello se considera el triángulo ABC, como muestra la figura:

Las alturas AE, BF, CD son trazadas desde los tres vértices C (X1, Y1); A (X2, Y2); B (X3, Y3) respectivamente del △ABC. Donde O (X, Y) es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo.

Paso 1

Calcula la pendiente de los lados del triángulo usando la fórmula:

m=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-X_1}

Sea m(CB) la pendiente de CB

m_{CB}=\frac{Y_3-Y_1}{X_3-X_1}

De la misma manera, Sea m(AB) la pendiente de AB

m_{AB}=\frac{Y_3-Y_2}{X_3-X_2}

Paso 2

La pendiente de las alturas del △ABC será perpendicular a la pendiente de los lados del triángulo.

Se conoce que:

Pendiente\ perpendicular\ de\ la\ recta=\frac{-1}{pendiente\ de\ la\ recta}=\frac{-1}{m}

La pendiente de las respectivas alturas será:

Pendiente\ de\ CD,\ m_{CD}=\frac{-1}{m_{AB}}

La pendiente de la altura CD es perpendicular al lado AB.

Pendiente\ de\ AE,\ m_{AE}=\frac{-1}{m_{BC}}

La pendiente de la altura AE es perpendicular al lado BC.

Ahora se usará la ecuación en forma de pendiente-punto como una línea recta para calcular las ecuaciones de las líneas que coinciden con CD y AE.

La ecuación generalizada así formada mediante el uso de puntos arbitrarios (x) y (y) es:

m_{CD}=\frac{Y-Y_1}{X-X_1}

m_{AE}=\frac{Y-Y_2}{X-X_2}

Por lo tanto, resolviendo las dos ecuaciones para cualquier valor dado, se puede calcular el ortocentro de un triángulo.

Ejercicios de ejemplo

Ejercicio #1

Determinar el Ortocentro de un triángulo del cual se conoce que sus vértices son: A(1,3); B(5,7) y C(9,1).

Ver solución

Primero se hallarán las pendientes del lado AC y del lado BC.

m_{AC}=\frac{1-3}{9-1}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}\ (simplificando)

m_{BC}=\frac{1-7}{9-5}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}\ (simplificando)

Ahora se encuentran las ecuaciones de las alturas, la altura que parte del vértice A, se denominará AD y es perpendicular al lado BC, mientras que la altura del punto B será denotará como BE y que es perpendicular a la base AC.

m_{BE}=\frac{-1}{m_{AC}}=\frac{-1}{-\frac{1}{4}}

Se aplican propiedades de fracciones: m_{BE}=4

Se halla la ecuación de la recta BE (ecuación punto-pendiente)

y-\ y_1=m(x-x_1)

BE:\ \ y-\ 7=4\left(x-5\right)(\ 4x-y-13=0

Se realiza el mismo procedimiento para la altura AD

m_{AD}=\frac{-1}{m_{BC}}=\frac{-1}{-\frac{3}{2}}

Se aplican propiedades de fracciones: m_{AD}=\frac{2}{3}

Se halla la ecuación de la recta AD (ecuación punto-pendiente)

AD:\ \ y-\ 3=\frac{2}{3}\left(x-1\right)(\ 2x-3y+7=0

Por último, se realiza un sistema de ecuaciones BE y AD

4x-y-13=0\ (\ Despejar\ x\ (\ x=\frac{y+13}{4}

2x-3y+7=0\ (\ sustituir\ x\ (\ 2\ast\frac{y+13}{4}-3y+7=0\

\frac{-5y+13}{2}+7=0\ (\ despejando\ y\ (\ y=\frac{27}{5}

Sustituyendo\ el\ valor\ de\ y\ en\ x=\frac{y+13}{4}\ (\ x=\frac{\frac{27}{5}+13}{4}(\ x=\frac{23}{5}\

Las coordenadas del Ortocentro son: x=\frac{23}{5}\ ,\ y=\frac{27}{5}\ \

Respuesta: O(4.6, 5.4)

Bibliografía:
  • Aguilar-Moreno, M. (2019). Geometría analítica y euclidiana. Trillas.
  • Posamentier,, A. and Lehmann, I. (2012) The secrets of triangles. Prometheus Books.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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