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Pirámide

Figura tridimensional que tiene por base un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que se unen en un vértice común.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

En geometría una pirámide se define como una figura tridimensional que tiene por base un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que se unen en un vértice común.

En las figuras tridimensionales la pirámide se ubica dentro del tipo de poliedros. Un ejemplo de este tipo figura es el tetraedro, una pirámide cuya base es un triángulo y es considerado el poliedro más sencillo.

Figura de una pirámide

Una característica de las pirámides es que el número de superficies triangulares de las caras es igual al número de lados del polígono de su base.

Así, si la pirámide tiene una base de “n” lados, entonces tiene n + 1 caras (incluida la base), n + 1 vértices y 2*n aristas.

Si la base de la pirámide es un cuadrado (n = 4), la pirámide tendrá 5 caras, 5 vértices y 8 aristas.

Figuras y puntos de una pirámide

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Elementos y partes

Las pirámides tienen diferentes elementos que se pueden identificar en el diagrama y se explican a continuación.

Vértice de la pirámide (V): es el punto en el que concurren todas las caras laterales triangulares de la pirámide y es conocido como ápice.
Vértices: es el punto donde coinciden tres caras de la pirámide.
Base (B): es el polígono donde se apoya la pirámide, siendo la única cara que no toca el vértice de la pirámide y puede ser cualquier tipo de polígono.
Cara lateral (C): corresponden a cada uno de los lados laterales y siempre son triángulos.
Artistas (a): son los segmentos de recta donde se unen dos caras de la pirámide. Se pueden distinguir dos tipos: las aristas laterales, que son las que llegan al ápice y aristas básicas que se encuentran en la base.
Altura (h): es la perpendicular trazada desde el ápice hasta la base formando un ángulo recto (90°).
Altura inclinada: es la distancia desde el vértice de la pirámide hasta uno de los lados de los polígonos base conectados por una línea perpendicular a la línea base.
Apotema de la base (Ap_b): es la distancia de un lado de la base hasta su centro y solo se presenta en las pirámides regulares.
Apotema de la pirámide (Ap): es un segmento de recta perpendicular a uno de los lados del polígono base trazado hasta el vértice de la pirámide. Se presenta en las pirámides regulares y para estos casos coincide con la altura de la cara lateral.

Partes y elementos de una pirámide

Tipos y clasificación

Existen diferentes tipos de pirámides que se clasifican según el tipo de polígono de su base obteniendo su nombre del tipo de figura si es un triángulo, cuadrado, pentágono, entre otros.

También se pueden dividir según la posición del vértice de la pirámide con respecto a la base.

Según la forma y número de lados de la base

Pirámide triangular: su base es un triángulo, también conocido como tetraedro. La pirámide triangular tiene 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.
Pirámide cuadrada: se forma cuando su base es un cuadrado y tiene 5 caras, 5 vértices y 8 aristas.
Pirámide rectangular: Para este caso la base es un rectángulo y al igual que la pirámide cuadrada posee 5 caras, 5 vértices y 8 aristas.
Pirámide Pentagonal: es una pirámide cuya base es un pentágono. Este tipo de pirámide tiene 6 caras, 6 vértices y 10 aristas.

Así se pueden tener pirámide rómbica, cuya base es un rombo, pirámide hexagonal (hexágono), heptagonal (heptágono), Octogonal (octágono), eneagonal (eneágono).

A su vez, por la regularidad de la base pueden ser:

Pirámide regular: cuya base es un polígono regular (simétrico) y sus caras laterales son todas triángulos isósceles idénticos.
Pirámide irregular: con un polígono irregular (asimétrico) como base.

Tipos de pirámides

Según la posición de vértice de la pirámide con respecto a la base

Pirámide recta: si el vértice está directamente sobre el punto central del polígono base, entonces se dice que es una pirámide recta.
Pirámide oblicua: en este tipo de pirámide el ápice no se encuentra exactamente sobre la mitad de su base.

Tipos de pirámides

Área y volumen

Área de la pirámide

Para calcular el área total de una pirámide se debe hallar el área de la base y de las caras laterales.

Para una pirámide se tiene que $A_t=A_b+A_l$

Donde A_b es el área de la base y se calcula según el tipo de polígono base y A_l es la suma de las áreas de las caras laterales.

Si se trata de una pirámide regular la fórmula es:

$A=\frac{n\ast l}{2}\ast({Ap}_b+A_p)$

Siendo “n” el número de lados de la base, “l” la longitud, “Ap_b” el apotema de la base y “A_p” la apotema de la pirámide.

De igual manera se puede utilizar:

$A=A_b+\left(\frac{1}{2}\ast P\ast A_p\right)$

A_b Área de la base, P es el perímetro de la base y A_p es el apotema que por ser una pirámide regular coincide con la altura inclinada.

Volumen de una pirámide

Hay una fórmula general para hallar el volumen una pirámide, la cual es:

$V=\frac{1}{3}\ast A_b\ast h$

Donde: “V” es el volumen de la pirámide, “A_b” es el área de la base y “h” la altura.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Encuentra el área total de la superficie de la pirámide cuadrada si cada lado de la base mide 21 cm y la altura inclinada es 22 cm.

Ver solución

Como la base es un cuadrado se tiene que

$A_b=l^2={21}^2=441$

El área de la base es A_b = 441 cm²

El perímetro es P = 4l = 4(21) = 84 cm.

Por último, se calcula el área total de la pirámide

$A=A_b+\left(\frac{1}{2}\ast P\ast A_p\right)$

$A=441+\left(\frac{84\ast22}{2}\right)=441+924$

$A=1365{\ cm}^2$

El área total de la pirámide cuadrada es de 1365 cm²

Ejercicio #2

Para el ejemplo anterior hallar el volumen de la pirámide si la altura es de 20 cm.

Ver solución

Para hallar el volumen se aplica la siguiente fórmula sabiendo que la base de la pirámide es de 441 cm²

$V=\frac{1}{3}\ast A_b\ast h$

$V=\frac{1}{3}\ast441\ast20=\frac{8820}{3}$

$V=2940\ {cm}^3$

El volumen de la pirámide regular cuadrada es de 2940 cm³.

Bibliografía:
Bruño, G.M. (s/f ). Elementos de la Geometría. Editorial Bouret. Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador. Siu Kochoy, R., & Andaluz, C. (2019). Geometría del espacio: ejercicios y problemas. Fondo Editorial Universidad del Pacífico.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Pirámide. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/piramide/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 19 de septiembre de 2024.

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