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Haude Medina (2022). Polígono irregular. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/poligono-irregular/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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Contenidos

Polígono irregular

Polígono que tiene al menos un lado o un ángulo desigual.

7m
·
Tabla de contenidos:

Definición

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Un polígono irregular es aquel polígono que tiene al menos un lado o un ángulo desigual.

La característica de no tener todos sus lados y ángulos iguales, permite diferenciarlos de los polígonos regulares.

De este modo, se pueden tener triángulos regulares o irregulares, pentágonos regulares o irregulares y otras figuras más, dependiendo si sus lados y ángulos son congruentes o no.

También se les llama “polígonos no regulares” y algunos ejemplos de este tipo formas se muestran a continuación:

Como se puede observar, hay infinidad de figuras geométricas irregulares con “n” cantidad de lados.

Todos ellos cumplen con la condición de que al menos uno de sus lados es de diferente longitud, como es el caso del triángulo isósceles.

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Propiedades

Los polígonos irregulares presentan diversas propiedades para su estudio en la geometría, las cuales se enuncian a continuación:

  • Los polígonos irregulares no son ni equiláteros ni equiángulos.
  • En cuanto a sus ángulos y vértices pueden ser convexos y cóncavos.
  • La medida de sus ángulos externos es diferente entre sí.
  • En un polígono irregular cóncavo, se dice que no se definen ángulos exteriores.
  • Generalmente, los polígonos irregulares no son simétricos y en algunos de ellos no hay posibilidad de trazar eje de simetría.
    Por ejemplo; el triángulo y el trapecio isósceles tienen un solo eje de simetría, el triángulo escaleno no posee líneas de simetría, el rectángulo tiene sólo dos ejes.
  • Las diagonales de un polígono irregular está dada por D=\frac{n\ast(n-3)}{2}, donde “n” es el número de lados del polígono irregular.
  • Las diagonales de un polígono irregular convexo se encuentran dentro de la figura.
  • Las diagonales de un polígono irregular cóncavo se pueden trazar dentro y fuera de la figura.

Elementos

Los elementos de cualquier polígono irregular se representan en la figura inferior y se explican a continuación.

  • Vértices: son los puntos donde se unen dos lados o segmentos de recta. Para la figura son los puntos representados por: A, B, C, D, E.
  • Lados: corresponde a los segmentos de recta que forman el polígono irregular. En el ejemplo son los segmentos de recta: \bar{AB}, \bar{BC}, \bar{CD}, \bar{DE}, \bar{EA}.
  • Ángulos interiores: son ángulos que están dentro del polígono irregular y se forman por la intersección de dos lados consecutivos. \angmsdA,\ \angmsdB,\ \angmsdC,\ \angmsdD,\ \angmsdE.
  • Ángulos externos: se forman por la prolongación de cada uno de los lados y son los ángulos que se ubican fuera de la figura irregular.
  • Diagonales (D): son segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos.

Ángulos

La cantidad de ángulos internos y externos que tiene un polígono irregular es igual al número de lados que posee la forma geométrica.

Ángulos internos

La suma de los ángulos internos de cualquier polígono depende de la cantidad de lados que este tenga.

En una forma irregular, los ángulos internos tienen la particularidad que pueden ser todos menores de 180° (convexos) o tener algunos mayores a 180° (cóncavos).

Aunque estos no tienen la misma medida, para cualquier tipo de figura geométrica irregular de “n” lados, la suma total de los ángulos internos es igual a (n – 2)*180°.

Por ejemplo, para un pentágono la suma total de los ángulos internos es (5 – 2) * 180° = 3 * 180° = 540°.

Ángulos externos

La suma de los ángulos exteriores de un polígono irregular convexo es 360°.

Cada ángulo exterior es contiguo al respectivo ángulo interior en un polígono irregular convexo, siendo la suma de ambos 180 ° (son suplementarios).

Esta característica permite hallar la medida de cualquiera de los ángulos internos o externos conocidos uno de ellos.

m∠interno + m∠externo = 180°

Otra propiedad a considerar, tanto en polígonos irregulares convexos como en los polígonos regulares, es que la suma de los ángulos internos y externos es igual a 180° por la cantidad de lados del polígono.

Suma ∠ interno + suma ∠ externo = 180° * n

Esta afirmación se puede verificar con el ejemplo del pentágono irregular convexo que se ha analizado:

Suma ∠ interno + suma ∠ externo = 180° * n

540° + 360° = 180° * 5

900° = 900°

De esta forma se cumple la propiedad.

Perímetro y área

Perímetro de un polígono irregular

Para todos los polígonos el perímetro se halla sumando cada una de las longitudes de sus lados.

Así para un polígono de “n” lados el perímetro es:

P=l_1+l_2+l_3+\ldots+l_n

Área de un polígono irregular

Para calcular el área de un polígono irregular se pueden utilizar varios artificios matemáticos (procedimientos alternos matemáticos para obtener un resultado final).

Uno de estos métodos consiste en dividir el polígono en triángulos, conocido como el método de la triangulación, para luego encontrar el área de cada triángulo usando métodos conocidos \left(A=\frac{L\ast h}{2}\right) y posteriormente sumar las áreas de los triángulos individuales.

A_t=\frac{L_1\ast h_1}{2}+\frac{L_2\ast h_2}{2}+\frac{L_3\ast h_3}{2}+\ldots+\frac{L_n\ast h_n}{2}

Donde L_i\ es cada uno de los lados y h_i la altura de cada triángulo.

Por ejemplo, el pentágono se ha dividido en 5 triángulos y para cada uno se traza la altura, de manera tal que se pueda calcular el área del triángulo.

Finalmente se suma cada una de las áreas de los triángulos para obtener el área total. Por lo tanto, el área del pentágono será igual a:

A=\frac{L_1\ast h_1}{2}+\frac{L_2\ast h_2}{2}+\frac{L_3\ast h_3}{2}+\frac{L_4\ast h_4}{2}+\frac{L_5\ast h_5}{2}

Otro método es dividir, de ser posible, el polígono irregular en figuras planas conocidas, triángulos, cuadrados, rectángulos.

De manera tal, que sea más sencillo encontrar áreas individuales para luego hallar el área total sumando cada una de ellas. Aunque la división de la figura dependerá de la información que se tenga.

Para el siguiente polígono irregular se puede hallar el área dividiéndolo en varias figuras, dos rectángulos y un triángulo.

Ejercicios de ejemplos

Ejercicio #1

Para el siguiente polígono encontrar el ángulo faltante.

Ver solución

La figura irregular es un pentágono por tener 5 lados. Se sabe que la suma total de los ángulos es 540°

Suma  internos = (n – 2)*180°.

Suma  internos = (5 – 2) * 180° = 3 * 180° = 540°

Entonces, se tiene que: φ + β + α + δ + Φ = 540°

Despejando Φ y sustituyendo los valores de los ángulos conocidos:

Φ = 540° – (φ + β + α + δ) = 540° – (130° + 60° + 150° + 90°)

Φ = 540° – 430°

Φ = 110°

El ángulo faltante Φ tiene una amplitud de 110°.

Ejercicio #2

Hallar el área de la figura siguiente:

Ver solución

El heptágono se puede dividir en figuras geométricas más pequeñas.

El A1 y A3 son rectángulos iguales su área se calcula mediante la fórmula

A1 = b * h = 8 * 6

A1 = 48 cm2

A3 = 48 cm2

El A2 corresponde a un triángulo rectángulo, donde se observa que sus lados miden 6 cm y 8 cm. El área se calcula con la fórmula:

A_2=\frac{b\ast h}{2}=\frac{8\ast6}{2}=\frac{48}{2}

A2 = 24 cm2

El área total del heptágono es:

At = A1 + A2 * A3

At = A1 + A2 + A3

At = 120 cm2

Por lo tanto, el área total de la figura irregular es 120 cm2.

Bibliografía:
  • Bruño, G.M. (s/f ). Elementos de la Geometría. Editorial Bouret.
  • Godino, J. D. y Ruiz, F. (2003). Geometría y su didáctica para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada.
  • Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador.
  • Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Polígono irregular. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/poligono-irregular/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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