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Polígono regular

Figura plana cerrada que tiene todos sus lados de igual medida y sus ángulos de la misma amplitud.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Un polígono regular es aquel polígono que tiene todos sus lados de igual medida y sus ángulos de la misma amplitud.

La característica de tener sus lados y ángulos iguales permite diferenciar los polígonos regulares de los irregulares.

Son muchas las figuras planas regulares, entre estas se tienen: el triángulo equilátero, el cuadrado, rombo, pentágono regular, hexágono regular y muchas más.

Ejemplos de polígonos regulares

Propiedades

Las propiedades de los polígonos regulares lo diferencias permiten identificarlos y realizar diferentes cálculos para su estudio. Entre esas propiedades se tienen:

Todos los lados tienen la misma longitud.
Los polígonos regulares son equiángulos, todos tienen la misma medida.
La suma de sus ángulos externos es de 360°.
El número de diagonales se halla utilizando la fórmula $D=\frac{n\ast(n-3)}{2}$ , donde “n” es el número de lados del polígono regular.
Para hallar número de diagonales que parten o concurren en cada vértice se aplica la fórmula d = n – 3 , donde “n” es el número de lados.
El número de triángulos formados al unir las diagonales de un vértice de un polígono es igual a: (n – 2).
Sus diagonales generan formas geométricas simétricas.
Las líneas rectas trazadas desde el centro hasta los vértices de un polígono regular lo dividen en tantos triángulos isósceles iguales como lados tiene.
Las perpendiculares trazadas desde el centro de un polígono regular a sus lados son todas iguales.
Solo a los polígonos regulares se le atribuye un centro geométrico, apotemas, radios y ángulos centrales.
En un polígono regular el número de ejes de simetría es igual a la cantidad de lados que posea.

Elementos

Los elementos de cualquier polígono regular se representan en la figura inferior y se explican a continuación.

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Elementos de un polígono regular

Lados: Son los segmentos de recta que forman el polígono regular. Para la figura son los lados: $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ , $\overline{DE}$ , $\overline{EF}$ , $\overline{FA}$ .
Vértices: es el punto donde concurren dos lados o segmentos de recta. Son los puntos representados por: A, B, C, D, E, F.
Ángulos interiores: son ángulos que están dentro del polígono regular y se forman por la intersección de dos lados consecutivos. ⦨A, ⦨B, ⦨C, ⦨D, ⦨E, ⦨F.
Ángulos externos: corresponde a los ángulos que se ubican fuera del polígono y se forman por la prolongación de cada uno de los lados. Cada ángulo externo es suplementarios al ángulo interno del mismo vértice.
Diagonales (D): son segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos.

Ángulos

La cantidad de ángulos internos y externos que tiene un polígono regular es igual al número de lados que posee el polígono.

Ángulos internos

La suma de los ángulos internos de cualquier polígono depende de la cantidad de lados que este tenga.

Dado que un polígono regular es equiángulo, para cualquier tipo de figura geométrica regular de “n” lados, la medida de cada uno de sus ángulos internos se calcula mediante la ecuación:

$m\angle\ interno=\frac{(n\ -\ 2)\ *\ 180}{n}$

Por ejemplo, para un hexágono regular se tiene:

$m\angle\ interno= \frac{(6\ -\ 2)\ *\ 180}{6} = \frac{4\ *\ 180}{6} = \frac{720}{6}$

$m\angle\ interno= 120$

De tal manera, que cada ángulo interior de un hexágono mide 120°.

En cuanto a la suma total de los ángulos internos de cualquier polígono regular esta es igual a (n – 2)*180°, Donde «n» representa la cantidad de lados de la figura 2D regular.

Continuando con el ejemplo del hexágono, la suma total de los ángulos internos es (n – 2)*180° = 4 * 180° = 720°.

Ángulos externos

La suma de los ángulos exteriores de un polígono regular es 360°. Entonces, la medida de cada ángulo exterior de un polígono está dada por:

$m\angle\ externo=\frac{360}{n}$

Para el ejercicio del hexágono, se puede hallar la amplitud de cada ángulo externo utilizando la fórmula anterior:

$m\angle\ externo=\frac{360}{6} = 60$

Para este caso, cada ángulo externo de un hexágono tiene una amplitud de 60°.

La figura inferior muestra la representación gráfica de os cálculos realizados sobre los ángulos de un polinomio regular, según el ejemplo del hexágono.

Es importante mencionar que cada ángulo exterior es contiguo al respectivo ángulo interior en un Polígono regular y su suma es 180° (son suplementarios).

Esta característica permite hallar la medida cualquiera de los ángulos internos o externos conocidos uno de ellos.

$m\angle\ interno+m\angle\ externo = 180$

Perímetro y área

Perímetro de un polígono regular

El perímetro de un polígono resulta de sumar la longitud de cada uno de sus lados. Así para un polígono de “n” lados el perímetro es:

$P=l_1+l_2+l_3+\ldots+l_n$

Para el caso particular de los polígonos regulares, la fórmula anterior se simplifica debido a que todos los lados tienen la misma medida.

Por lo tanto, para hallar el perímetro bastará con conocer la medida de uno de los lados y multiplicar este parámetro por el número de lados de la figura.

$P=n\ast l$

Dónde: “n” es el número de lados del polígono regular y “l” la longitud de un lado.

Área de un polígono regular

Para definir el procedimiento para hallar el área de un polígono regular, primero se mencionan los casos particulares del triángulo equilátero y del cuadrado, posteriormente se indicará la fórmula para el resto de polígonos regulares.

Área de un triángulo equilátero es $A=l^2\ast\frac{\sqrt3}{4}$ , donde “l” es la medida de uno de sus lados.
El área de un cuadrado es $A=l^2$ , donde “l” es la medida de sus lados.
Para el resto de los polígonos regulares se puede calcular usando la longitud de su apotema y la medida de uno de sus lados.

$A=\frac{n\ast l\ast A_p}{2}$

Donde:

A: es el área del polígono regular.
n: es el número de lados.
l: es la longitud de un lado.
A_p: es la apotema.

Sin embargo, también es posible calcular el área de polígonos regular usando simplemente la longitud de uno de sus lados y la función trigonométrica de la tangente.

$\frac{l^2\ast n}{4\ tan\ (\frac{180}{n})}$

Ejercicios de ejemplo

Ejercicio #1

Completar la tabla siguiente para los diferentes polígonos regulares.

Polígono	No. de lados	Diagonales	m∠interno	suma m∠interno	m∠externo
Triángulo	3
Cuadrado	4
Pentágono	5
Hexágono	6
Heptágono	7
Octágono	8
Eneágono	9
Decágono	10

Ver solución

Para completar la tabla se utilizarán las siguientes fórmulas:

Diagonales: $D=\frac{n\ast(n-3)}{2}$
Medida del ángulo interno: $m\angle\ interno=\frac{(n\ -\ 2)\ *\ 180}{n}$
Suma de los ángulos internos: $(n\ -\ 2)\ *\ 180$
Medida del ángulo externo: $m\angle\ externo=\frac{360}{n}$

Polígono	No. de lados	Diagonales	m∠interno	suma m∠interno	m∠externo
Triángulo	3	0	60°	180	120°
Cuadrado	4	2	90°	360°	90°
Pentágono	5	5	108°	540°	72°
Hexágono	6	9	120°	720°	60°
Heptágono	7	14	128,57°	900°	51,43°
Octágono	8	20	135°	1080°	45°
Eneágono	9	27	140°	1260°	40°
Decágono	10	35	144°	1440°	36°

Ejercicio #2

Se tiene un decágono con lado igual a 5 cm. Hallar el perímetro y el área.

Ver solución

Por ser una figura regular todos sus lados miden 5 cm. y tiene un total de 10 lados.

Primero se calcula el perímetro:

$P=n\ast l$

$P=10\ast5=50\ cm$

El perímetro es igual a 50 centímetros.

Para hallar el área se puede utilizar la fórmula:

El área del decágono es de 192,31 cm²

Bibliografía:
Bruño, G.M. (s/f ). Elementos de la Geometría. Editorial Bouret. Godino, J. D. y Ruiz, F. (2003). Geometría y su didáctica para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada. Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Polígono regular. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/poligono-regular/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 08 de diciembre de 2024.

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