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Potenciación

Forma abreviada de escribir la multiplicación repetida de un mismo factor.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

En matemática se llama potencia a la forma abreviada de escribir la multiplicación repetida de un mismo factor.

Se puede definir la potenciación, como la multiplicación de la base, por sí misma, tantas veces como lo indique el exponente.

La notación exponencial es:

$a^n=a\ast a\ast a\ast a\ast a\ldots\ast a$

Donde α es un número real cualquiera y n es un entero positivo, conociéndose como la potencia n-ésima de a. Por ejemplo: 8³ = 8*8*8 = 512. Se lee 8 elevado a la 3.

En el caso de tener exponente negativo –n, y por definición n es un entero positivo, la notación exponencial se puede escribir como:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{\ast a\ast a\ast a\ast a\ldots\ast a}$

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La potenciación tiene aplicación en diferentes áreas, así en la geometría, cuando un factor se multiplica consigo mismo dos veces se puede asociar con el área de un cuadrado o de una figura geométrica en particular. Se puede referir al volumen de un cubo, cuando se multiplica tres veces por sí mismo.

En las expresiones algebraicas, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia o exponente y cuando un número o letra no se indica el exponente se entiende que este es 1. Hay métodos específicos para su resolución. Por ejemplo (-3x)⁴ = (-3)*(-3)*(-3)*x*x*x.

Elementos

La potencia está formada por dos elementos fundamentales que son:

Base: corresponde al cualquier número real que se multiplica repetidas veces.
Exponente: también recibe el nombre de índice o potencia. Y es el número entero positivo al cual está elevada la base e indica el número de veces que se multiplica la base por sí misma.

Elementos de la potenciación

Propiedades

Hay ciertas reglas que se aplican a la potenciación para facilitar su cálculo y simplificación, por lo que la solución correcta de diversos problemas que involucren la potencia de un número, depende de su adecuada aplicación.

Potencia con exponente cero (0): para cualquier número diferente de 0 se tiene que: Si $a\ \neq0$ , $\ a^0=1$ . Esto se deduce de: $1=\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$ . Cuando $a=0$ , $\ 0^0$ , no está definido y se conoce como una indeterminación.
Potencia con exponente 1: todo número elevado a la 1 es igual al mismo número. Si $a\ \neq0$ , $\ a^1=a$ .
Potencia con exponente negativo: aunque ya se comentó, se tiene que para cualquier número real $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ , para $\ a\neq0\$ .
Multiplicación de potencias: para multiplicar potencias de igual base se escribe la misma base y se suman los exponentes. $a^m\ast a^n=a^{m+n}$ .
Potencia de un producto: para multiplicar bases diferentes elevadas a un mismo exponente se debe elevar cada base al exponente dado y efectuar la multiplicación. ${(a\ast b)}^n=a^n\ast b^n$ .
División de potencias de igual base: cuando se tiene una división de potencias de igual base en el numerador y denominador, se coloca la misma base y se restan los exponentes. $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ .
Potencia de un cociente: la potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente, $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$ .
Potencia de un número negativo: es necesario para resolver este tipo de potencias aplicar la regla de los signos, entonces:
- Si n es un entero par, $\ {(-a)}^n=\ a^n$ . Ejemplo: ${(-3)}^4=\left(-3\right)\ast\left(-3\right)\ast\left(-3\right)\ast(-3)=81$ .
- Si n es un entero impar, $\ {(-a)}^n=\ a^n$ . Ejemplo: ${(-3)}^3=\left(-3\right)\ast\left(-3\right)\ast\left(-3\right)=-27$ .
Potencia de una potencia: la potencia de una potencia de un número a, resulta de colocar la misma base y multiplicar sus exponentes entre sí. $\left(a^m\right)^n=a^{m\ast n}$ .
Potencia de una fracción con exponente negativo: la potencia de una fracción con exponente negativo da como resultado la potencia del inverso de la fracción con exponente n. $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n=\frac{b^n}{a^n}$ .
Exponente racional: si a es un número real positivo con exponentes n, m enteros para $n\neq0$ , se tiene que: $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ .

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de potenciación:

8⁵ = 88888 = 32768	2³ = 222 = 8	10² = 10*10 = 100
4^-3 = (1/4)(1/4)(1/4) = 0,015625	-2⁴ = (-2)(-2)(-2)*(-2) = 16	5³ = 555 = 125
-4³ = (-4)(-4)(-4) = -64	2^-2 = (1/2)*(1/2) = 0,25	1⁷ = 1111111 = 1
3³ = 333 = 27	-2⁶ = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)*(-2) = 64	10¹ = 10

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: para las potencias siguientes indicar que propiedad se aplica.

Potencia	Solución
${19}^{-2}=\frac{1}{{19}^2}$
$\left(6^2\right)^3=6^{2\ast3}=6^6$
${2x}^0=1$
${(5x)}^\frac{3}{2}=5^\frac{3}{2}\ast x^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{5^3}\ast\sqrt[2]{x^3}$

Ver solución

Potencia	Solución
${19}^{-2}=\frac{1}{{19}^2}$	Potencia con exponente negativo
$\left(6^2\right)^3=6^{2\ast3}=6^6$	Potencia de una potencia
${2x}^0=1$	Potencia con exponente 0
${(5x)}^\frac{3}{2}=5^\frac{3}{2}\ast x^\frac{3}{2}=\sqrt[2]{5^3}\ast\sqrt[2]{x^3}$	Potencia de un producto y exponente radical

Ejercicio #2

Problema a resolver: resolver las siguientes potencias

$\frac{\left(-2\right)^3\ast\left(-2\right)^1}{\left(-2\right)^6}$
$\left(2^3\ast\ 3^2\ast5^{-2}\right)^2$

Ver solución

Punto a)

Primero se aplica potencia de igual base en el numerador: $\frac{\left(-2\right)^{3+1}}{\left(-2\right)^6}=\frac{\left(-2\right)^4}{\left(-2\right)^6}$

Aplicar división de potencias de igual base = $\left(-2\right)^{4-6}=\left(-2\right)^{-2}$

Potencia de exponente negativo = $\frac{1}{{(-2)}^2}=\frac{1}{4}$

El resultado es $\frac{1}{4}$

Punto b)

Potencia de una potencia: $2^{3\ast2}\ast3^{2\ast2}\ast5^{\left(-2\right)\ast2}=2^6\ast3^4\ast5^{-4}$

Se aplica potencia de exponente negativo al último factor: $2^6\ast3^8\ast\frac{1}{5^4}$

Resolver cada potencia: $64\ast81\ast\frac{1}{625}=\frac{5184}{625}=8,29$

El resultado es 8,29.

Bibliografía:
Haeussler, E. F. 2003. Matemáticas para administración y economía.Pearson Educación. Stewart, J. 2006. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Potenciación. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/potenciacion/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 11 de septiembre de 2024.

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8⁵ = 88888 = 32768	2³ = 222 = 8	10² = 10*10 = 100
4^-3 = (1/4)(1/4)(1/4) = 0,015625	-2⁴ = (-2)(-2)(-2)*(-2) = 16	5³ = 555 = 125
-4³ = (-4)(-4)(-4) = -64	2^-2 = (1/2)*(1/2) = 0,25	1⁷ = 1111111 = 1
3³ = 333 = 27	-2⁶ = (-2)(-2)(-2)(-2)(-2)*(-2) = 64	10¹ = 10

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