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Haude Medina (2022). Rectas paralelas. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/rectas-paralelas/). Última edición: abril 2022. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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Rectas paralelas

Dos rectas que no se intersectan en ningún punto y son equidistantes.

5m
·
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Definición

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Dos rectas son paralelas cuando no se intersectan en ningún punto y son equidistantes, es decir, mantienen la misma distancia entre sí, en cada uno de sus puntos.

Matemáticamente dos rectas son paralelas cuando se cumple que sus pendientes son iguales, dicho esto se tiene que: m_1=m_2.

Para indicar que dos rectas son paralelas se utiliza el símbolo \parallel , por ejemplos, dadas las rectas \overline{AB} y  \overline{EF}, o también denotadas como l_1\ y \ l_2, se escribe \overline{AB}\ \parallel\ \overline{EF} o como l_1\ \parallel\ \ l_2 y se lee que: \overline{AB} es  paralelea a \overline{EF}.

Rectas paralelas.

Características

Las rectas paralelas tienen ciertas características que se mencionan a continuación:

  • Son simétricas o recíprocas: refiere que si una recta l_1 es paralela a otra recta l_2, entonces por simetría la recta l_2\ es paralela l_1. Si l_1\parallel l_2, entonces; l_2\parallel l_1.Imagen de las rectas paralelas simétricas.
  • Son transitivas: si la recta l_1 es paralelas a la recta l_2 y a su vez la recta l_2 es paralela a otra recta llamada l_3, entonces se cumple que Si l_1\parallel l_2 y a su vez l_2\parallel l_3, entonces; l_1\parallel l_3.Imágenes de rectas paralelas transitivas
  • Reflexiva: se cumple que toda recta es paralela a sí misma. Entonces l_1\parallel l_1.Imagen de rectas paralelas reflexivas.

Fórmula

Se puede determinar si dos rectas son paralelas entre sí, a partir de sus ecuaciones, y estas deben cumplir con la condición de que sus pendientes son iguales. Por esto se entiende que; l_1\parallel l_2, si y solo sí m_1=m_2.

Se pueden tener varios casos de representación de rectas mediantes sus ecuaciones:

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Conocida la ecuación punto pendiente de la recta

Se sabe geométricamente que la recta se puede expresar como una ecuación de la siguiente manera:

y=mx+b

Para esta fórmula  corresponde a la coordenada en el eje de las ordenadas (vertical), la cual ya se encuentra despejada, “x”, es la coordenada de las abscisas y ” es la pendiente de la recta.

En este tipo de ecuación es muy sencillo conocer la pendiente, por ejemplo, si se tiene la ecuación y=3x+2, la pendiente m_1=3.

Conocida la ecuación general

La ecuación general de la recta es de la forma:

ax+by+c=0

Para este caso, para extraer la pendiente de su ecuación general se tiene que:

m=\frac{-a}{b}

Partiendo de la ecuación de la recta 2x+5y\ -3=0, la pendiente se calcula:

m=\frac{-2}{5}=-\frac{2}{5}

Conocida la forma simétrica de las rectas

La ecuación simétrica de la recta es de la forma:

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

En este caso para conocer la pendiente de la recta, se debe transforma la ecuación simétrica como ecuación general de la recta, para luego poder hallar la pendiente con la fórmula conocida: m=\frac{-a}{b}.

Supóngase, que se tiene la ecuación simétrica: \frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1, algebraicamente la ecuación se simplifica:

\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1

Utilizando el método de los productos cruzados quedaría:

=\frac{5x+3y}{3\ast5}=\frac{5x+3y}{15}

Despejando los valores quedaría:

\frac{5x+3y}{15}=1

5x+3y=15\ast1

5x+3y-15=0

Despejada la ecuación e igualada a 0, se aplica la fórmula m=\frac{-a}{b}, para conocer la pendiente m=\frac{-5}{3}=-\frac{5}{3}.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: determinar si las siguientes rectas son paralelas entre sí, dada las siguientes ecuaciones: 2x-y+3=0 y 2x-y-7=0

Ver solución

Por estar las ecuaciones en forma general se aplica m=\frac{-a}{b}, para conocer cada pendiente.

Para 2x-y+3=0, la pendiente es m_1=\frac{-2}{-1}=2.

Para 2x-y-7=0, la pendiente es m_2=\frac{-2}{-1}=2.

Comprobando si ambas son paralelas se tiene que: m_1=m_2\ \Longrightarrow2=2 por tanto las rectas son paralelas entre sí.

Ejercicio #2

Problema a resolver: dadas las siguientes ecuaciones de dos rectas, verificar si estas son paralelas y=2x-6 y 6x-3y+3=0.

Ver solución

Para la ecuación y=2x-6, se conoce que la pendiente m_1=2.

En cuanto a la ecuación 6x-3y+3=0, se puede despejar “y», para transformar la ecuación a la forma y=mx+b. Se obtiene que:

6x-3y+3=0

6x+3=3y

\frac{6x+3}{3}=y

Simplificando y reordenando se tiene que: y=2x+1, se halla la pendiente m_2=2.

Comprobando si ambas son paralelas se tiene que: m_1=m_2\ \Longrightarrow2=2, por tanto las rectas son paralelas entre sí.

Bibliografía:
  • Juárez, Á. P. (2010). Educación Matemática. Universidad Autónoma de la Ciudad de México, México.
  • Porras, J. D. (2015). Matemática Décimo Año. CONED-UNED.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Rectas paralelas. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/rectas-paralelas/). Última edición: abril 2022. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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