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Geometría

Rectas paralelas

Dos rectas que no se intersectan en ningún punto y son equidistantes.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Dos rectas son paralelas cuando no se intersectan en ningún punto y son equidistantes, es decir, mantienen la misma distancia entre sí, en cada uno de sus puntos.

Matemáticamente dos rectas son paralelas cuando se cumple que sus pendientes son iguales, dicho esto se tiene que: $m_1=m_2$ .

Para indicar que dos rectas son paralelas se utiliza el símbolo $\parallel$ , por ejemplos, dadas las rectas $\overline{AB}$ y $\overline{EF}$ , o también denotadas como $l_1\$ y $\ l_2$ , se escribe $\overline{AB}\ \parallel\ \overline{EF}$ o como $l_1\ \parallel\ \ l_2$ y se lee que: $\overline{AB}$ es paralelea a $\overline{EF}$ .

Rectas paralelas.

Características

Las rectas paralelas tienen ciertas características que se mencionan a continuación:

Son simétricas o recíprocas: refiere que si una recta $l_1$ es paralela a otra recta $l_2$ , entonces por simetría la recta $l_2\$ es paralela $l_1$ . Si $l_1\parallel l_2$ , entonces; $l_2\parallel l_1$ .
Son transitivas: si la recta $l_1$ es paralelas a la recta $l_2$ y a su vez la recta $l_2$ es paralela a otra recta llamada $l_3$ , entonces se cumple que Si $l_1\parallel l_2$ y a su vez $l_2\parallel l_3$ , entonces; $l_1\parallel l_3$ .
Reflexiva: se cumple que toda recta es paralela a sí misma. Entonces $l_1\parallel l_1$ .

Fórmula

Se puede determinar si dos rectas son paralelas entre sí, a partir de sus ecuaciones, y estas deben cumplir con la condición de que sus pendientes son iguales. Por esto se entiende que; $l_1\parallel l_2$ , si y solo sí $m_1=m_2$ .

Se pueden tener varios casos de representación de rectas mediantes sus ecuaciones:

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Conocida la ecuación punto pendiente de la recta

Se sabe geométricamente que la recta se puede expresar como una ecuación de la siguiente manera:

$y=mx+b$

Para esta fórmula corresponde a la coordenada en el eje de las ordenadas (vertical), la cual ya se encuentra despejada, “x”, es la coordenada de las abscisas y ” es la pendiente de la recta.

En este tipo de ecuación es muy sencillo conocer la pendiente, por ejemplo, si se tiene la ecuación $y=3x+2$ , la pendiente $m_1=3$ .

Conocida la ecuación general

La ecuación general de la recta es de la forma:

$ax+by+c=0$

Para este caso, para extraer la pendiente de su ecuación general se tiene que:

$m=\frac{-a}{b}$

Partiendo de la ecuación de la recta $2x+5y\ -3=0$ , la pendiente se calcula:

$m=\frac{-2}{5}=-\frac{2}{5}$

Conocida la forma simétrica de las rectas

La ecuación simétrica de la recta es de la forma:

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

En este caso para conocer la pendiente de la recta, se debe transforma la ecuación simétrica como ecuación general de la recta, para luego poder hallar la pendiente con la fórmula conocida: $m=\frac{-a}{b}$ .

Supóngase, que se tiene la ecuación simétrica: $\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1$ , algebraicamente la ecuación se simplifica:

$\frac{x}{3}+\frac{y}{5}=1$

Utilizando el método de los productos cruzados quedaría:

$=\frac{5x+3y}{3\ast5}=\frac{5x+3y}{15}$

Despejando los valores quedaría:

$\frac{5x+3y}{15}=1$

$5x+3y=15\ast1$

$5x+3y-15=0$

Despejada la ecuación e igualada a 0, se aplica la fórmula $m=\frac{-a}{b}$ , para conocer la pendiente $m=\frac{-5}{3}=-\frac{5}{3}$ .

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: determinar si las siguientes rectas son paralelas entre sí, dada las siguientes ecuaciones: $2x-y+3=0$ y $2x-y-7=0$

Ver solución

Por estar las ecuaciones en forma general se aplica $m=\frac{-a}{b}$ , para conocer cada pendiente.

Para $2x-y+3=0$ , la pendiente es $m_1=\frac{-2}{-1}=2$ .

Para $2x-y-7=0$ , la pendiente es $m_2=\frac{-2}{-1}=2$ .

Comprobando si ambas son paralelas se tiene que: $m_1=m_2\ \Longrightarrow2=2$ por tanto las rectas son paralelas entre sí.

Ejercicio #2

Problema a resolver: dadas las siguientes ecuaciones de dos rectas, verificar si estas son paralelas $y=2x-6$ y $6x-3y+3=0$ .

Ver solución

Para la ecuación $y=2x-6$ , se conoce que la pendiente $m_1=2$ .

En cuanto a la ecuación $6x-3y+3=0$ , se puede despejar “y», para transformar la ecuación a la forma $y=mx+b$ . Se obtiene que:

$6x-3y+3=0$

$6x+3=3y$

$\frac{6x+3}{3}=y$

Simplificando y reordenando se tiene que: $y=2x+1$ , se halla la pendiente $m_2=2$ .

Comprobando si ambas son paralelas se tiene que: $m_1=m_2\ \Longrightarrow2=2$ , por tanto las rectas son paralelas entre sí.

Bibliografía:
Juárez, Á. P. (2010). Educación Matemática. Universidad Autónoma de la Ciudad de México, México. Porras, J. D. (2015). Matemática Décimo Año. CONED-UNED.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Rectas paralelas. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/rectas-paralelas/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 11 de diciembre de 2024.

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