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Rectas perpendiculares

Dos rectas que se intersectan en un punto y forman un ángulo de 90°.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Se dice que dos rectas son perpendiculares si se intersectan en un punto y forman un ángulo de 90°.

En la imagen a continuación las rectas $\overline{PQ}\$ y $\overline{TS}\$ son perpendiculares entre sí y se denota de la siguiente manera: $\overline{PQ} \bot\ \overline{TS}$ , que significa que la recta $\overline{PQ}$ es perpendicular a $\overline{TS}$ .

Rectas perpendiculares.

Todas las líneas que se cruzan no necesariamente son perpendiculares entre sí. Por esta razón, para que dos rectas sean perpendiculares deben forman un ángulo recto.

Fórmula

Para que dos rectas sean perpendiculares entre sí, además de cumplir la condición de formar un ángulo recto al intersectarse, matemáticamente se debe cumplir la condición:

El producto de las pendientes de las rectas $(m_1\ast m_2)\$ sea igual a (-1). Si este principio se da, entonces las rectas son perpendiculares.

$m_1\ast m_2=-1$

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Donde, $m_1\$ es la pendiente de la recta uno y $m_2\$ es la pendiente de la recta dos.

Es conveniente recordar que la pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas y que se indica con la letra “m”.

Ahora bien, se pueden dar varios casos para determinar si dos rectas que se intersectan son perpendiculares:

Conocidas las ecuaciones punto pendiente de cada recta. La ecuación punto pendiente, permite escribir la ecuación de una recta, conocida la pendiente y las coordenadas de la recta. $y-\ y_1=m(x-x_1)$ . Una vez que se resuelve se obtienen una ecuación de la recta de forma: $y=mx+b$ , donde “m” es la pendiente de la recta.
Cuando se tienen la ecuación general de cada recta. Se sabe que la ecuación general de la recta es de la forma: $ax+by+c=0$ . Para conocer la pendiente de una recta partiendo de su ecuación general se tiene que: $m=\frac{-a}{b}$ .
Encontrar una recta perpendicular a otra conocida su ecuación. Para este caso considerar que la pendiente de una de ellas, debe ser igual al inverso de la pendiente de la otra recta y con el signo contrario, es decir; si es positivo cambiado a negativo o viceversa. $m_1=\frac{-1}{m_2}$ .

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: se tienen las ecuaciones de dos rectas. Se desea conocer si ambas rectas son perpendiculares. $y=-2x-4$ y $y_1=\frac{1}{2}x+1$ .

Ver solución

Como ambas rectas están expresadas en forma de la ecuación de punto pendiente: $y=mx+b$ , los valores que acompañan a la x en cada ecuación corresponden a la pendiente de cada recta.

Entonces, para comprobar que ambas rectas son perpendiculares se debe dar que:

$m_1\ast m_2=-1$

Sustituyendo los valores de cada pendiente, para verificar la igualdad se tiene:

$\left(-2\right)\ast\frac{1}{2}=-1$

$\left(\frac{-2}{1}\right)\ast\frac{1}{2}=-1$

$\frac{-2}{2}=-1$

$-1=-1$

Se cumple la condición $m_1\ast m_2=-1$ , por tanto, ambas rectas son perpendiculares.

Ejercicio #2

Problema a resolver: Se tienen dos rectas cuyas ecuaciones son las siguientes: $6x-3y+3=0$ y $2x-y-6=0$ . Comprobar si ambas son perpendiculares entre sí.

Ver solución

Las rectas en cuestión están representadas mediante la ecuación general. Primero se debe hallar la pendiente de cada recta, conocido que $m=\frac{-a}{b}$ .

Para la ecuación $6x-3y+3=0$ , la pendiente es: $m=\frac{-6}{-3}=2$ .

Para la ecuación $2x-y-6=0$ , la pendiente es: $m=\frac{-2}{-1}=2$ .

Verificando si son perpendiculares:

$m_1\ast m_2=-1$

$2\ast2=-1$

$4=-1$

No se cumple la condición, por lo que ambas rectas no son perpendiculares.

Ejercicio #3

Problema a resolver: dada la ecuación de una recta $y=3x+1$ , hallar otra recta perpendicular a ella.

Ver solución

En la ecuación $y=3x+1$ , la pendiente m=3.

Aplicando el principio de reciprocidad: $m_1=\frac{-1}{m_2}$ , se tiene que: $m_1=\frac{-1}{3}$ .

Entonces si se escribe una ecuación con pendiente $\frac{-1}{3}$ , ya esta será perpendicular a la ecuación de la recta original. Esta puede ser: $y=\ \frac{-1}{3}x+8$ .

Entonces las rectas representadas por las ecuaciones siguientes son perpendiculares.

$y=3x+1\$

$y=\ \frac{-1}{3}x+8$

Bibliografía:
Juárez, Á. P. (2010). Educación Matemática. Universidad Autónoma de la Ciudad de México, México. Porras, J. D. (2015). Matemática Décimo Año. CONED-UNED.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Rectas perpendiculares. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/rectas-perpendiculares/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 06 de octubre de 2024.

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