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Aritmética

Suma de fracciones

Combinar dos o más fracciones para obtener como resultado una fracción equivalente.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Sumar fracciones consiste en combinar dos o más fracciones para obtener como resultado una fracción equivalente, este resultado se conoce como «suma».

Los elementos de la suma de fracciones son:

Sumandos: son todas las fracciones que se suman.
Suma o total: es el resultado que se obtiene de la suma.
Signo (+): indica el tipo de operación que se está realizando y separa cada una de las fracciones a sumar (sumandos).

La suma de fracciones se puede escribir como: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ , donde estas pueden ser fracciones homogéneas, heterogéneas o mixtas.

Como en cualquier conjunto de números, la suma de fracciones tiene varias propiedades:

Propiedad conmutativa: donde el orden en el que se suman las fracciones no altera el resultado $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\ \frac{c}{d}+\frac{a}{b}$ .
Propiedad asociativa: si se tienen tres o más fracciones se pueden agrupar de diferente manera para facilitar su cálculo $\left(\frac{a}{b}+\frac{m}{n}\right)+\frac{r}{s}=\ \frac{a}{b}\left(\frac{m}{n}+\frac{r}{s}\right)\$
Elemento neutro: El elemento neutro es el cero (0), donde si a cualquier fracción se le suma cero (0), da como resultado la misma fracción $\frac{a}{b}+0=\ \frac{a}{b}$

En el ámbito matemático, científico o técnico, la suma de fracciones es importante, ya que permite obtener resultados (números) más fáciles de manejar y resolver problemas que conllevan un análisis de alguna situación.

Resolución

La suma de fracciones puede variar dependiendo del tipo de fracciones que se estén sumando, ya sean que las fracciones tengan igual o distinto denominador o sean fracciones mixtas.

Fracciones homogéneas

Se entienden por fracciones homogéneas, aquellas fracciones que tienen igual denominador, entonces; la suma es de la forma:

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$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}$

Para sumar fracciones homogéneas se procede a sumar los numeradores y se escribe el mismo denominador, por ser este igual en las fracciones a sumar, es decir

$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\ \frac{a+c}{b}$

Por ejemplo, supóngase que se tiene la siguiente suma de fracciones, el procedimiento sería: $\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\ \frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}$

Gráficamente el ejemplo dado se puede visualizar como:

$Representación gráfica de la suma de fracciones$
El mismo procedimiento se efectúa si se tienen tres o más fracciones.

$\frac{2}{6}+\frac{11}{6}+\frac{5}{6}=\frac{2+11+5}{6}=\frac{18}{6}=3$

Para este caso, el resultado se simplificó a su mínima expresión $\frac{\mathbf{18}}{\mathbf{6}}=\mathbf{3}$ , aunque siempre se recomienda, simplificar las fracciones antes de efectuar la suma.

Fracciones heterogéneas

Es preciso recordar, que dos o más fracciones son heterogéneas, si tienen diferente denominador.

Para sumar fracciones heterogéneas o de diferente denominador se conocen dos métodos, el método de la multiplicación en cruz y el método división de denominadores.

Método 1: multiplicación en cruz

El método de «multiplicación en cruz», es muy sencillo de desarrollar y se expresa mediante la fórmula:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\left(a\ast d\right)+(c\ast b)}{b\ast d}$

Mediante un ejemplo, se analizará la fórmula descrita: se tiene la suma de fracciones $\frac{7}{8}+\frac{3}{5}$ .

Paso 1: multiplicar los denominadores de ambas fracciones para obtener un denominador común $\ \frac{7}{8}+\frac{3}{5}=\ \frac{}{8\ast5}=\frac{}{40}$ .
Paso 2: el numerador de la primera fracción se multiplica por el denominador de la segunda fracción y se escribe como numerador de la fracción resultado. Esto es 7 * 5 = 35. $\frac{7}{8}+\frac{3}{5}=\ \frac{35+}{40}$ .
Paso 3: el denominador de la primera fracción se multiplica por el numerador de la segunda fracción, 8 * 3 = 24. El resultado se escribe en el numerador de la fracción resultado, $\frac{7}{8}+\frac{3}{5}=\ \frac{35+24}{40}$ .
Paso 4: se realiza la suma de los numeradores obtenidos en los pasos anteriores. $\frac{7}{8}+\frac{3}{5}=\ \frac{35+24}{40}=\frac{59}{40}$ .

En caso de tener tres o más fracciones, es conveniente aplicar la propiedad asociativa para resolver la suma utilizando este método.

Método 2: división de denominadores

En dicho método se dividen los denominadores para realizar la suma:

Paso 1: lo primero que se debe hacer es hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores de las fracciones a sumar. $\frac{2}{5}+\frac{7}{3}$ , el m.c.m de 5 y 3 es igual a 15. Este será el denominador de la fracción resultado $\ \frac{2}{5}+\frac{7}{3}=\frac{}{15}$ .
Paso 2: se calculan los numeradores dividiendo el denominador común obtenido entre el denominador de la primera fracción y se multiplica el resultado por el numerador de la misma fracción, obteniendo como resultado: $\left(15\div5\right)\ast2=3\ast2=6$ , este será el primer numerador de la fracción resultado $\frac{2}{5}+\frac{7}{3}=\frac{6+}{15}$ .
Paso 3: se halla el otro numerador realizando el mismo procedimiento con la otra fracción $\left(15\div3\right)\ast7=5\ast7=35$ . Quedando la fracción como: $\frac{2}{5}+\frac{7}{3}=\frac{6+35}{15}$ .
Paso 4: se suman los numeradores obtenidos y se simplifica de ser necesario $\frac{2}{5}+\frac{7}{3}=\frac{6+\ 35}{15}=\frac{41}{15}$ .

Suma de fracciones mixtas

Quizás te interese: Fracciones mixtas.

Como se sabe, una fracción mixta es aquella que tiene una parte que es un número entero y la otra parte es una fracción propia. La suma de fracciones mixta se puede realizar de dos maneras:

Método 1

Lo primero que se debe hacer es sumar los números enteros, luego se procede a sumar las fracciones mediante alguno de los métodos ya estudiados.

El resultado será el número entero obtenido agregando el resultado de la suma de las fracciones. Analicemos este proceso mediante un ejemplo:

$4\frac{1}{5}+3\frac{2}{3}$

Sumando las partes enteras se obtiene $4 + 3 = 7$ .

Después se suman las partes fraccionarias $\frac{1}{5}+\frac{2}{3}=\frac{3+10}{15}=\frac{13}{15}$ .

El resultado quedaría como $4\frac{1}{5}+3\frac{2}{3}=7\frac{13}{15}$ .

Método 2

En este método las fracciones mixtas se deben convertir a fracciones impropias y posteriormente realizar la suma, utilizando cualquiera de los métodos conocidos.

Obtenga más información sobre cómo convertir fracciones mixtas a impropias.

Por ejemplo: $4\frac{1}{5}+3\frac{2}{3}$ .

Convirtiendo la fracción mixta $4\frac{1}{5}$ a fracción impropia se obtendría $\frac{21}{5}$ .

Convirtiendo la fracción mixta $3\frac{2}{3}$ a fracción impropia se obtendría $\frac{11}{3}$ .

Ahora se suman ambas fracciones impropias:

$\frac{21}{5}+\frac{11}{3}=\frac{\left(21\ast3\right)+(11\ast5)}{15}=\frac{63+55}{15}=\frac{118}{5}$

La fracción obtenida se puede convertir en fracción mixta y se obtiene $7\frac{13}{15}$ .

Ejemplos

Algunos ejemplos de suma de fracciones son:

$\frac{8}{4}+\frac{7}{5}+\frac{3}{8} = \frac{151}{40}$	$\frac{5}{4}+\frac{7}{9} = \frac{73}{36}$	$4\frac{3}{2}+1\frac{2}{3} = 7\frac{1}{6}$
$\frac{1}{9}+\frac{3}{6} = \frac{1}{18}$	$\frac{13}{4}+\frac{3}{1} = \frac{25}{4}$	$\frac{4}{9}+\frac{3}{2}+\frac{5}{6} = \frac{25}{9}$
$3\frac{1}{3}+4\frac{2}{5} = \frac{46}{5}$	$\frac{10}{5}+\frac{1}{23} = \frac{47}{23}$	$\frac{9}{3}+\frac{1}{9} = \frac{28}{9}$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Operación a resolver: $\frac{9}{8}+\frac{5}{8}+\frac{3}{8}$

Ver solución

Por ser fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se escribe el mismo denominador.

$\frac{9}{8}+\frac{5}{8}+\frac{3}{8}=\frac{9+5+3}{8}=\frac{17}{8}$

Ejercicio #2

Operación a resolver: aplicar la propiedad asociativa y sumar $\frac{3}{8}+\frac{4}{5}+\frac{9}{4}$ .

Ver solución

Aplicando la propiedad asociativa se obtiene:

$\left(\frac{3}{8}+\frac{4}{5}\right)+\frac{9}{4}$

El resultado de la suma de las fracciones agrupadas en el paréntesis es:

$\left(\frac{3}{8}+\frac{4}{5}\right)=\frac{15+32}{40}=\frac{47}{40}$

Ahora se suma la fracción obtenida con la fracción restante:

$\frac{47}{40}+\frac{9}{4}=\frac{47+90}{40}=\frac{137}{40}$

Ejercicio #3

Operación a resolver: suma de fracciones mixtas $6\frac{1}{2}+1\frac{1}{5}$

Ver solución

Convirtiendo cada fracción mixta a fracción impropia se obtiene $6\frac{1}{2}=\frac{13}{2}$ mientras que $1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$ .

La suma quedaría de la manera

$\frac{13}{2}+\frac{6}{5}=\frac{65+12}{10}=\frac{77}{10}$

Que expresada en forma de fracción mixta el resultado es $7\frac{7}{10}$ .

Ejercicio #4

Operación a resolver: dada la siguiente suma de fracciones $\frac{5}{6}+\frac{7}{8}$ , comprobar que se cumple la propiedad conmutativa.

Ver solución

Según la propiedad conmutativa

$\frac{5}{6}+\frac{7}{8}=\frac{7}{8}+\frac{5}{6}$

$\frac{\left(5\ast8\right)+(7\ast6)}{48}=\frac{\left(7\ast6\right)+(5\ast8)}{48}$

$\frac{40+42}{48}=\frac{42+40}{48}$

$\frac{82}{48}=\frac{82}{48}$

Estos resultados se pueden simplificar, lo que quedaría en $\frac{82}{48}=\frac{41}{24}$ . De esta manera se comprueba la propiedad conmutativa.

Bibliografía:
Múltiples autores. Matemáticas para 1.er curso de ESO. (2016). Santillana. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 6° grado. Libro del estudiante. EDINUN Ediciones Nacionales Unidas. Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador. Zill, D. G., & Dewar, J. M. (2008). Precálculo con avances de cálculo. McGraw-Hill Interamericana

Bibliografía:

Múltiples autores. Matemáticas para 1.er curso de ESO. (2016). Santillana.
Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 6° grado. Libro del estudiante. EDINUN Ediciones Nacionales Unidas.
Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador.
Zill, D. G., & Dewar, J. M. (2008). Precálculo con avances de cálculo. McGraw-Hill Interamericana

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Suma de fracciones. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/suma-de-fracciones/). Última edición: junio 2024. Consultado el 16 de septiembre de 2024.

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