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Haude Medina (2022). Triángulo acutángulo. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/triangulo-acutangulo/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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Triángulo acutángulo

Triángulo que tiene todos sus ángulos internos agudos.

7m
·
Tabla de contenidos:

Definición

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Se conoce como triángulo acutángulo, al triángulo de tres lados que tiene todos sus ángulos internos agudos (miden < 90°).

Esta particularidad de la amplitud de sus ángulos, permite ubicarlo en la clasificación de los triángulos por la medida de sus ángulos, junto con los triángulos rectángulo y obtusángulo.

Por ejemplo, si se considera el ∆RST, cuyos ángulos que se forman por la intersección de las semirrectas \overline{RS}, \overline{ST}\overline{TR}, tienen las siguientes medidas: α = 65°, β = 35°, Φ = 80°, cada uno de ellos mide menos de 90°, por tanto, es un triángulo acutángulo.

Triángulo actuángulo.

Teniendo como referencia la figura anterior, se pueden identificar cada uno de los elementos del triángulo acutángulo.

  • Lados: son las semirrectas \overline{RS}, \overline{ST} y \overline{TR}.
  • Vértices: corresponde a los puntos R, S y T.
  • Ángulos internos: que se identifican con las letras α, β, Φ. También se pueden designar como: \angle RST, \angle STR y \angle TRS.
  • Ángulos externos: denotados con las letras φ, δ, τ.

Características

Los triángulos acutángulos obtienen las propiedades generales de los triángulos, además, de otras particulares que los permiten definir y diferenciar. Entre las diversas características se pueden mencionar:

  • En cuanto a sus ángulos, a pesar de ser todos agudos, se cumple la propiedad de la suma de ángulos internos de un triángulo, donde; α + β + Φ = 180°.
  • Cada uno de los ángulos externo es suplementario al ángulo interno de mismo lado. Por lo que, α + δ = 180°, β + φ = 180° y Φ + τ = 180°.
  • Este tipo de triángulo no puede tener ningún ángulo obtuso o recto.
  • Por no tener ningún ángulo recto (igual a 90°), forma parte del tipo de triángulos oblicuángulos.
  • En cuanto a sus lados, el lado de menor medida es el opuesto al ángulo de menor amplitud. Del triángulo de la figura anterior, el ángulo β es el de menor amplitud, por tanto, el lado \overline{RS}, es el de menor medida.
  • La suma de cualquiera de dos de sus lados, es siempre es mayor al tercero de sus lados. Según esta propiedad, (\overline{RS}+\ \overline{ST}>\ \overline{TR}), (\overline{RS}+\overline{TR}>\overline{ST})(\overline{ST}+\ \overline{TR}>\overline{RS}).
  • La medida de un lado cualquiera, se puede hallar por el teorema del seno, siempre y cuando se conozcan por lo menos dos ángulos y un lado o, dos lados y un ángulo. Para la figura en análisis sería: \frac{\bar{ST}}{\sin{(\phi)}}=\frac{\overline{TR}}{\sin{(\alpha)}}=\frac{\overline{RS}}{\sin{(\beta)}}.
  • En un triángulo acutángulo, la semirrecta trazada desde uno de los lados del triángulo hasta el vértice opuesto siempre es perpendicular, esta corresponde a la Altura. Se forman tres alturas.
  • El ortocentro (H) de un triángulo acutángulo, es un punto interior del triángulo.Imagen del ortocentro de un triángulo acutángulo.
  • Todos los puntos notables del triángulo acutángulo, circuncentro, el baricentro, el ortocentro y el incentro, se ubican en el interior del triángulo.

Tipos

Como se mencionó, los triángulos acutángulos se clasifican según sus ángulos. Sin embargo, si se unen con los tipos de triángulos según sus lados, se pueden formar combinaciones, las cuales se nombran a continuación.

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  • Triángulo acutángulo equilátero: por ser acutángulo todos los ángulos internos miden menos de 90°, pero, además, tienen la misma medida que es igual a 60° y sus lados son congruentes. Para este tipo de triángulo se cumplen todas las características de un triángulo equilátero. Imagen de un triángulo acutángulo equilátero.
  • Triángulo acutángulo isósceles: se caracteriza por tener dos lados de igual medida y todos sus ángulos agudos, con la particularidad que dos de ellos son de igual amplitud.Imagen de un triángulo acutángulo isósceles
  • Triángulo acutángulo escaleno: Todos sus ángulos son agudos, pero de diferente amplitud y, por tanto, todos sus lados son desiguales. Imagen de un triángulo acutángulo escaleno

Perímetro y área

Perímetro

El perímetro de un triángulo acutángulo se halla sumando cada una de las medidas de sus lados. P=\ l_1+l_2+l_3. Según la figura que se ha estado tomando como ejemplo, el Perímetro es: P=\ \overline{RS}+\ \overline{ST}+\ \overline{TR}.

Es necesario señalar, que dependiendo del tipo de triángulo acutángulo se puede simplificar la fórmula dada. Así, por ejemplo, para un triángulo acutángulo equilátero, como todos sus lados son iguales, basta con conocer solo uno de ellos, siendo:

P=\ 3\ast l

Área

De manera general para todos los triángulos el área viene dada por la fórmula:

A=\frac{b\ast h}{2}

Donde:

  • A = es el área del triángulo acutángulo.
  • b = es la base.
  • h = es la altura.

Otra manera de hallar el área del triángulo acutángulo es conocida las longitudes de al menos dos de sus lados, para este caso se utiliza la fórmula de Herón:

A=\sqrt{s\ast\left(s-a\right)\ast\left(s-b\right)\ast(s-c)}

Donde:

  • A = es el área del triángulo acutángulo.
  • a, b, c, son las medidas de los lados del triángulo.
  • s = es el semiperímetro del triángulo y se halla: s=\frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Calcular el perímetro de un triángulo acutángulo representado en la siguiente figura.

Ejercicio 1 de triángulo acutángulo

Ver solución

Para hallar el perímetro se debe conocer, primeramente, la amplitud del ángulo β, luego la medida de los otros dos lados, aplicando el teorema del seno:

Por propiedad de los ángulos internos de un triángulo se conoce que: α+β+Φ= 180°, despejando β, se tiene:

β = 180° – (α + Φ) ⇒ β = 180° – (80° + 35°) = β = 180° – 115

\beta = 65

Ahora, se aplica el teorema del seno para hallar la medida de los lados \overline{TR}\\overline{RS}

\frac{\bar{ST}}{\sin{(\phi)}}=\frac{\bar{TR}}{\sin{(\alpha)}}=\frac{\bar{RS}}{\sin{(\beta)}}

Por la igualdad se puede hacer la siguiente relación:

\frac{\overline{ST}}{\sin{\left(\phi\right)}}=\frac{\overline{TR}}{\sin{\left(\alpha\right)}}\Rightarrow\frac{3}{\sin{\left(35\right)}}=\frac{\overline{TR}}{\sin{\left(80\right)}}, despejando

\overline{TR}=\frac{3\ast\sin{\left(80\right)}}{\sin{\left(35\right)}}=\frac{3\ast0,98}{0,57}

\bar{TR}=5,16\ cm

Este mismo procedimiento se puede hacer para hallar el valor de \overline{RS}

\frac{\overline{ST}}{\sin{\left(\phi\right)}}=\frac{\overline{RS}}{\sin{\left(\beta\right)}}\Rightarrow\frac{3}{\sin{\left(35\right)}}=RSsin65

\overline{RS}=3*sin65sin35

\overline{RS}=\frac{3\ast0.91}{0,57}

\overline{RS}=4,79\ cm

Por último, se halla el valor del perímetro

P = 3 + 5,16 + 4,79

El perímetro del triángulo es P = 12,95 cm.

Ejercicio #2

Problema a resolver: se conoce que el perímetro de un triángulo acutángulo es de 30 cm., y la medida de dos de sus lados son a = 10 cm. y b = 12 cm. Hallar el valor área.

Ver solución

Se puede aplicar la fórmula de Herón para hallar el área del triángulo acutángulo, pero antes se debe conocer la medida del lado faltante. Para esto, se usará la fórmula del perímetro.

P = a + b+ c, donde 30 = 10 + 12 + c

Despejando c = 30 – (10 + 12) = 30 – 22

c = 8 cm.

Conocidas las medidas de los tres lados se aplica la fórmula de Herón:

A=\sqrt{s\ast\left(s-a\right)\ast\left(s-b\right)\ast(s-c)}

s=\frac{P}{2}=\ \frac{30}{2}=15\ cm

A=\sqrt{15\ast\left(15-10\right)\ast\left(15-12\right)\ast\left(15-8\right)}

A=\sqrt{15\ast5\ast3\ast7}=\sqrt{1575}

El área del triángulo acutángulo es A=39,68 cm²

Bibliografía:
  • Almaguer, G. (2008). Matemáticas 2. Editorial Limusa.
  • Matemáticas para 1.er curso de ESO. (2016). Santillana.
  • Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.
  • Palomá, L., & Serrano, F. (2017). Deducción de la fórmula de Herón a partir de las tangentes de los ángulos medios.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Triángulo acutángulo. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/triangulo-acutangulo/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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