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Triángulo equilátero

Triángulo que tiene sus tres lados de igual medida y sus tres ángulos son congruente.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Un triángulo equilátero es un tipo de triángulo que tiene sus tres lados de igual medida y sus tres ángulos son congruentes, cada ángulo tiene una amplitud de 60°. Por esto se dice que son equiangulares.

Figura de un triángulo equilátero.

Esta particularidad de tener todos sus lados y ángulos congruentes, permite clasificar al triángulo equilátero dentro de los polígonos regulares, además de poder identificarlo fácilmente del resto de triángulos.

Sus elementos son adquiridos de un polígono, con sus particularidades por ser un triángulo. De la figura anterior se identifican los elementos del triángulo equilátero:

Vértices: se identifican con las letras A, B, C.
Lados: $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ .
Ángulos internos: $\angle BAC$ , $\angle CBA$ , $\angle ACB$ .
Ángulo externos: φ, α, β, cada uno suplementario al ángulo interno del mismo lado.

Características

El triángulo equilátero posee varias características que lo definen y diferencian del resto de los triángulos. Sus propiedades se citan a continuación:

Por ser equilátero se cumple que los lados $\overline{AB}$ = $\overline{BC}$ ,= $\overline{CD}$ .
Se cumple que $\angle BAC$ = $\angle CBA$ = $\angle ACB$ . Como la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180°, entonces para el caso específico del triángulo equilátero se tiene que: 60° + 60° + 60° = 180°. Cada ángulo mide 60°.
Los ángulos externos son suplementarios al ángulo interno del mismo lado, por lo que cada ángulo externo mide 120°. Se cumple que el ángulo en C + φ = 180°, por lo que 60° + 120° = 180°.
Un triángulo equilátero puede ser a su vez acutángulo, por tener todos sus ángulos internos agudos (< 90°).
Las líneas fundamentales, altura, mediatriz, bisectriz y mediana, coinciden sobre una misma recta trazada, dado que sus tres lados son iguales.
Esto quiere decir, que si se traza una línea fundamental cualquiera, esta es a su vez es, altura mediatriz, bisectriz y mediana.
Los puntos fundamentales como ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro, coinciden en un mismo punto.
Cualquier línea notable que se trace divide el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos congruentes. Pudiéndose aplicar el teorema de Pitágoras.
Por la característica anterior, entonces se puede decir, que la altura de un triángulo equilátero se puede calcular por el teorema de Pitágoras o mediante razón trigonométrica de ángulos de 30° y 60°. Su fórmula es: $h=l\frac{\sqrt3}{2}$ .

Perímetro y área

Perímetro

La forma más conocida de hallar el perímetro de cualquier triángulo es sumando cada uno de sus lados, siendo P = l1 + l2 + l3, pero por ser sus lados de igual longitud, la fórmula se puede simplificar a P = 3l, por lo que solo es necesario conocer la longitud de uno de sus lados.

Lados del triángulo equilátero para calcular el perímetro.

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Otras maneras de calcular el perímetro son: si se conoce la medida de su apotema mediante la fórmula $P=a_p\ast6\sqrt3$ , o en función de la altura (h), donde $P=h\ast2\sqrt3$ .

Área

El área de un triángulo equilátero se puede calcular de distintas maneras.

Conocida la medida de sus lados

Siendo la fórmula $A=l^2\ast\frac{\sqrt3}{4}$ . Esta se deduce de la fórmula $A=\frac{l\ast h}{2}$ , en la cual se sustituye la fórmula conocida para hallar la altura y se simplifica.

$A=\frac{l\ast h}{2}$

Se conoce que $h=l\frac{\sqrt3}{2}$ , sustituyendo en la fórmula anterior se tiene:

$A=l\ast\ l\frac{\sqrt3}{2}\ast\frac{1}{2}$

$A=l^2\ast\frac{\sqrt3}{4}$

Esta misma fórmula se deduce del método de Herón,

$A=\sqrt{s\ast\left(s-a\right)\ast\left(s-b\right)\ast(s-c)}$

Donde: A = es el área del triángulo, a, b, c, son las medidas de los lados del triángulo y s = es el semiperímetro del triángulo. Ahora bien, como todos los lados son iguales, se simplifica la fórmula a:

$A=\frac{\sqrt3a^2}{4}$ , donde a es la medida del lado.

Conocida la altura

Para calcular el área conociendo la altura del triángulo se debe utilizar la siguiente fórmula:

$A=h^2\frac{\sqrt3}{3}$

Conociendo la apotema

Para calcular el área conociendo la apotema del triángulo se debe utilizar la siguiente fórmula:

$A={ap}^2\ast3\sqrt3$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: se tiene un triángulo equilátero cuya medida de los lados es de 3,50 cm. Hallar la altura del triángulo.

Ver solución

Utilizando la fórmula de altura para el triángulo equilátero se tiene:

$h=l\frac{\sqrt3}{2}$

Sustituyen valores: $h=\left(3,50\right)\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3,50\sqrt3}{2}$

$h=3,031\ cm$

Ejercicio #2

Problema a resolver: la altura de un triángulo es de 2 metros. Hallar el perímetro y área del triángulo.

Ver solución

Primero se debe calcular la medida de los lados, para esto se utiliza la medida que relaciona la altura con el lado del triángulo.

$h=l\frac{\sqrt3}{2}$ , despejando l se tiene:

$l=\frac{2h}{\sqrt3}$ , sustiyutendo l = $\frac{2(2)}{\sqrt3}=2,3\ metros$

El perímetro es P = 3l = 3*(2,3) = 6,9 metros.

El área es: $A=l^2\ast\frac{\sqrt3}{4}=\left(2,3\right)^2\ast\frac{\sqrt3}{4}=2,3{\ metros}^2$

Ejercicio #3

Problema a resolver: comprobar el valor del área del ejercicio anterior, utilizando la fórmula $A=h^2\frac{\sqrt3}{3}$ .

Ver solución

Del ejemplo anterior se tiene que la altura del triángulo es de 2 metros, sustituyendo este valor en la fórmula se obtiene:

$A=\left(2\right)^2\ast\frac{\sqrt3}{3}=4\ast\frac{\sqrt3}{3}=\frac{4\left(1,73\right)}{3}$

$A=2,3{\ metros}^2\$

Utilizando la fórmula del área en función de la altura se obtiene el mismo valor del ejemplo anterior.

Bibliografía:
Matemáticas para 1.er curso de ESO. (2016). Santillana. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones. Palomá, L., & Serrano, F. (2017). Deducción de la fórmula de Herón a partir de las tangentes de los ángulos medios

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Triángulo equilátero. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/triangulo-equilatero/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 11 de septiembre de 2024.

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