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Geometría

Triángulo obtusángulo

Triángulo que tiene uno de sus ángulos internos obtuso y los otros dos son agudos.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

En geometría se define un triángulo obtusángulo como aquel triángulo que tiene uno de sus ángulos internos obtuso y los otros dos son agudos.

La particularidad de tener un ángulo mayor a 90°, lo define y lo ubica dentro de la clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos. Además, por no tener ningún ángulo igual a 90°, es del tipo oblicuángulo.

La siguiente figura, muestra un ejemplo de un triángulo obtusángulo, el mismo servirá como ejemplo para analizar sus elementos y características.

Imagen de un triángulo obtusángulo.

Los elementos que conforman al triángulo obtusángulo se enumeran a continuación:

Vértices del triángulo son O, P, Q.
Lados: son las semirrectas $\overline{OP}$ , $\overline{PQ}\$ y $\overline{QO}$ .
Ángulos internos: son $\angle OPQ$ , $\angle PQO$ y $\angle QOP$ , también denotados con las letras α, β, τ. Donde el ángulo obtuso es β.
Ángulos exteriores: cada uno de ellos es suplementario al ángulo interior del mismo lado. Por lo que se cumple que α + Φ = 180°, β + δ = 180° y τ + φ = 180°.

Características

La principal característica de un triángulo obtusángulo es tener un ángulo obtuso, es decir mayor a 90° pero, menor a 180°. Sin embargo, hay otras particularidades, propias de este tipo de triángulo que lo definen:

La suma de los dos ángulos agudos es menor a 90°. Tomando como referencia el triángulo obtuso de la figura: α + τ < 90°.
El lado de mayor medida es el lado opuesto al ángulo obtuso. Así, por ejemplo, $\overline{QO}$ es el lado más largo por ser opuesto al ángulo obtuso β.
Según la característica anterior, se cumple que ${\overline{OP}}^2$ + ${\overline{PQ}}^2$ < ${\overline{QO}}^2$ . La suma del cuadrado de los otros dos lados es menor al lado más largo.
Las alturas desde los vértices que coinciden con los ángulos agudos, se cruzan en las prolongaciones de los lados opuestos al vértice.
El ortocentro (H) se encuentra fuera del triángulo obtusángulo, debido a que las alturas del triángulo obtusángulo se cortan en sus prolongaciones.
En el triángulo obtusángulo de la figura, se pueden identificar las alturas h₂, h_3, perpendiculares a las prolongaciones de los lados opuestos a los vértices de los ángulos agudos. Cortándose las tres alturas (h_1,h₂, h₃) fuera del triángulo en el ortocentro (H).
La medida de un lado cualquiera, se puede hallar por el teorema del seno, siempre y cuando se conozcan por lo menos dos ángulos y un lado o, dos lados y un ángulo. Para la figura en análisis sería: $\frac{\overline{OP}}{\sin{(\tau)}}=\frac{\overline{PQ}}{\sin{(\alpha)}}=\frac{\overline{QO}}{\sin{(\beta)}}$ .
Los puntos notables como el baricentro y el incentro, se ubican dentro del triángulo obtusángulo. En cuanto al circuncentro y el ortocentro, se ubican en el exterior del triángulo.

Tipos

Al combinar el triángulo obtusángulo con los triángulos clasificados según sus lados, se pueden formar triángulos que toman características comunes de sus originales. A continuación, se nombran:

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Triángulo obtusángulo escaleno: este tipo de triángulo tiene un ángulo obtuso, sus otros dos ángulos son agudos de diferente amplitud. Así mismo. las medidas de sus lados son distintas.
Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso y sus otros dos ángulos son agudos de igual medida. Por tanto, tiene dos lados congruentes y uno de diferente medida.

Perímetro y área

Perímetro

Para hallar el perímetro de un triángulo obtusángulo, se suman cada una de las medidas de sus lados. $P=\ l_1+l_2+l_3$ . Según la figura que se ha estado tomando como ejemplo, el perímetro es: $P=\ \overline{OP}+\ \overline{PQ}+\ \overline{QO}$ .

Área

Se pueden reconocer dos maneras de hallar el área de un triángulo obtuso. La primera y más conocida, es mediante la fórmula general del área del triángulo:

$A=\frac{b\ast h}{2}$

Donde:

A = es el área del triángulo.
b = es la base.
h = es la altura

Sin embargo, se debe considerar, que cualquiera de las alturas que coincida con alguno de sus ángulos agudos, se encuentra fuera del triángulo.

Imágenes de las partes de un triángulo obtusángulo para calcular el área.

Otra manera de conocer el área del triángulo obtusángulo, es función de la medida de sus lados. Para esto, se utiliza la fórmula de Herón:

$A=\sqrt{s\ast\left(s-a\right)\ast\left(s-b\right)\ast(s-c)}$

Donde:

A = es el área del triángulo.
a, b, c, son las medidas de los lados del triángulo.
s = es el semiperímetro del triángulo y se halla: $s=\frac{P}{2}=\frac{a+b+c}{2}$ .

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: hallar el perímetro de un triángulo del cual se conoce que las medidas de sus lados son, a = 18,4 cm.; b = 27,8 cm. y c = 14,6 cm.

Ver solución

Conocido las tres medidas de los lados del triángulo, se aplica la fórmula del perímetro.

P = a + b + c

P = 18,4 + 27,8 + 14,6

P = 60, 8 cm.

El perímetro del triángulo obtusángulo es igual a 60, 8 cm

Ejercicio #2

Problema a resolver: del ejemplo anterior hallar el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón.

Ver solución

La fórmula de Herón es:

$A=\sqrt{s\ast\left(s-a\right)\ast\left(s-b\right)\ast(s-c)}$

Antes de aplicar la fórmula se debe calcular el semiperímetro (S)

$s=\frac{P}{2}=\frac{60,8}{2}=30,4\ cm$

El valor del semiperímetro se sustituye en la fórmula, al igual que las medidas de los lados:

$A=\sqrt{30,4\ast\left(30,4-18,4\right)\ast\left(30,4-27,8\right)\ast\left(30,8-14,6\right)}$

$A=\sqrt{30,4\ast\left(12\right)\ast\left(2,6\right)\ast\left(16,2\right)}$

$A=\sqrt{15.365,376}=\ 123,95\ {cm}^2$

El área del triángulo obtusángulo es de 123,95 cm².

Ejercicio #3

Problema a resolver: en la figura se muestra un triángulo obtusángulo. Cuya base es igual a 8 cm.,y la altura es de 15 cm. Calcular el área.

Ejercicio con un triángulo obtusángulo.

Ver solución

En este ejemplo ya se tienen las medidas de la base y la altura.

Observe, que la altura se ha trazado coincidiendo con uno de sus ángulos agudos, perpendicular a la prolongación del lado opuesto al ángulo.

Ahora, para hallar el área se utiliza la fórmula:

$A=\frac{b\ast h}{2}$

Sustituyendo los valores conocidos:

$A=\frac{8\ast15}{2}=\frac{120}{2}$

$A=60\ {cm}^2$

El área del triángulo obtusángulo es de 60 cm².

Bibliografía:
Almaguer, G. (2008). Matemáticas 2. Editorial Limusa. Matemáticas para 1.er curso de ESO. (2016). Santillana. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones. Palomá, L., & Serrano, F. (2017). Deducción de la fórmula de Herón a partir de las tangentes de los ángulos medios.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Triángulo obtusángulo. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/triangulo-obtusangulo/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 15 de octubre de 2024.

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