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Geometría

Valor absoluto

Distancia que existe en la recta numérica desde el 0 hasta dicho número.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

En matemática el valor absoluto de un número es la distancia que existe en la recta numérica desde el 0 hasta dicho número.

En la figura se muestra la recta numérica. Si se considera el número 6 y el -6, se puede observar que ambos están a la misma distancia del 0.

Recta numérica

Las dos cantidades se ubican a 6 unidades del 0, aunque se encuentren en sentidos opuestos.

De esta manera, se puede definir el valor absoluto de un número como su magnitud independientemente del signo del número.

Representación

El valor absoluto de un número real «x» se representa teóricamente de la siguiente manera:

$\left|x\right|=\left\{\begin{matrix}\ \ \ \ x,\ Si\ x\ \geq0\ \rightarrow x\ es\ positivo\ si\ es\ mayor\ o\ igual\ a\ 0\\-x,\ Si\ x<0\ \rightarrow x\ es\ negativo\ si\ es\ mayor\ menor\ a\ 0\\\end{matrix}\right.$

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Analizando lo anterior:

Si x = 6, el valor absoluto es |6| = 6. (primera condición)
Si x = 0, el valor absoluto es |0| = 0. (primera condición)
Si x = -6, como el número es menor que 0 se aplica la segunda condición siendo el valor absoluto: -|-6| = 6.
Para este caso se multiplica por (-) o (-1) y se obtiene el valor absoluto.

El símbolo que se utiliza para escribir el valor absoluto de un número o una función es una barra vertical «| |» a cada lado de este, es decir, |x| donde x es un número.

Algunos ejemplos de valor absoluto son los siguientes:

|43| = 43 → significa el valor absoluto de 43 es 43.
|-24| = -|-24| = 24 → significa el valor absoluto de -24 es 24.
|-2 * 4| = |-8| = -|-8| = 8 → significa el valor absoluto del producto de 2 * 4 cuyo resultado es -8 es 8.

Propiedades

Algunas de las propiedades del módulo de un número resultan de su definición. Estas son las siguientes.

Como el valor absoluto expresa una distancia este no tiene signo, por lo tanto; siempre es un valor positivo.
El módulo de cualquier entero $\mathbb{Z}$ , serán los números reales $\mathbb{R}$ , sin importar el signo que tenga.
No negatividad: el valor absoluto de un número real es siempre mayor que o igual a cero. |x| ≥ 0.
Simetría: el módulo de un número negativo es igual al módulo de un número positivo. |-x| = |x|.
Subaditividad: el valor absoluto de una sumatoria es menor o igual que la sumatoria de cada uno de los valores absolutos de los sumandos. |x + y| ≤ |x| + |y|.
Multiplicatividad: el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores. |x × y| = |x| × |y|.
Preservación de la división: el valor absoluto que resulta de una división es igual al cociente de los valores absolutos de los elementos que la componen. |x / y| = |x| / |y|.

Función

La función valor absoluto en su forma más básica está representada por f(x)=|x|.

Se define de manera similar a lo estudiado anteriormente sobre el valor absoluto de un número.

$y=\left|f(x)\right|=\left\{\begin{matrix}\ \ \ \ \ f\left(x\right),\ \ Si\ x\ \geq0\\-f\left(x\right),\ \ Si\ x<0\\\end{matrix}\right.$

Se debe tener en cuenta que el valor absoluto, en este caso de una función, siempre representa distancias o intervalos (tramos o trozos); por lo tanto, siempre será positiva o nula.

Por tanto, el valor absoluto de una función convierte todas sus imágenes en positivas.

$f\left(6\right)=\left|6\right|=6$

$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left|-\frac{1}{2}\right|=-\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$

Otras características de la función de valor absoluto se mencionan a continuación:

Su gráfica es simétrica con respecto al eje de las ordenadas (y).
El dominio de son todos los números reales y el rango pertenece a $(\mathbb{R}\geq0)$

Ejercicios de ejemplo

Ejercicio #1

Determinar los valores absolutos

|23|
|-56|
|-(-21)|

Ver solución

Para la solución se tomará en consideración la representación teórica:

$\left|x\right|=\left\{\begin{matrix}\ \ \ \ x,\ \ Si\ x\ \geq0\\-x,\ \ Si\ x<0\\\end{matrix}\right.$

Punto a)

|23| → como $x\ \geq0$ , entonces |23| = 23

Punto b)

|-56| → como $x<0$ , entonces |-56| = – |-56| = 56. Por regla de los signos (-) * (-) = (+)

Punto c)

|-(-21)| → se aplica la regla de signos para resolver primero lo que se encuentra dentro del símbolo de valor absoluto |-(-21)| = |21|, ahora se halla el valor absoluto. Como $x\ \geq0$ , se tiene que |21| = 21.

Ejercicio #2

Calcula el resultado de cada operación:

|9| * |-5|
|-36| ÷ |-6|

Ver solución

Para la resolución de cada caso se aplican las propiedades conocidas.

Punto a)

|9| * |-5|. Propiedades |x| = x, x ≥ 0 y |-x| = x, x < 0

|9| = 9
|-5| = -|-5| = 5
|9|*|-5| = 9 * 5 = 45

Punto b)

|-36 ¸ -6|. Propiedades |x / y| = |x| / |y|, |x| = x, x ≥ 0 y |-x| = x, x < 0

|-36 ¸ -6| = $\frac{|-36|}{|-6|}=\frac{-|-36|}{-|-6|}=\frac{36}{6}=6$

Ejercicio #3

Graficar la función valor absoluto $f\left(x\right)=\left|2x-2\right|$

Ver solución

El primer paso es encontrar los valores de $f\left(x\right)$ seleccionando varios valores para «x».

x	$f\left(x\right)$	resolución
-2	6	$f\left(-2\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(-2)-2\right\|=\left\|-4-2\right\|=\left\|-6\right\|=6$
-1	4	$f\left(-1\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(-1)-2\right\|=\left\|-2-2\right\|=\left\|-4\right\|=4$
0	2	$f\left(0\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(0)-2\right\|=\left\|0-2\right\|=\left\|-2\right\|=2$
1	0	$f\left(1\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(1)-2\right\|=\left\|2-2\right\|=\left\|0\right\|=0$
2	2	$f\left(2\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(2)-2\right\|=\left\|4-2\right\|=\left\|2\right\|=2$

Una vez obtenidos los valores (x , y) se grafican

Bibliografía:
E. y Paul. R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía; con la colaboración de Víctor Ibarra Mercado. Editorial Prentice Hall. Quinta edición. México. Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador. Tussy, K., Gustafson, D., Koenig, D. (2013). Matemáticas básicas. Cengage Learning.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2023). Valor absoluto. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/valor-absoluto/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 11 de diciembre de 2024.

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x	$f\left(x\right)$	resolución
-2	6	$f\left(-2\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(-2)-2\right\|=\left\|-4-2\right\|=\left\|-6\right\|=6$
-1	4	$f\left(-1\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(-1)-2\right\|=\left\|-2-2\right\|=\left\|-4\right\|=4$
0	2	$f\left(0\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(0)-2\right\|=\left\|0-2\right\|=\left\|-2\right\|=2$
1	0	$f\left(1\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(1)-2\right\|=\left\|2-2\right\|=\left\|0\right\|=0$
2	2	$f\left(2\right)=\left\|2x-2\right\|=\left\|2(2)-2\right\|=\left\|4-2\right\|=\left\|2\right\|=2$

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