Vértice

Definición

En geometría el vértice se define como un punto de intersección que forma un ángulo cuando se unen dos o más rectas o aristas.

La condición para que se forme un vértice en el plano o el espacio, es que las rectas que lo conforman no sean paralelas entre sí.

En el caso de líneas curvas el vértice es el punto máximo o mínimo de esta, como en el caso de la parábola.

Un vértice se denota con letras mayúsculas. De esta manera, el ángulo tiene el vértice A, el triángulo (figura 2D) sus vértices son D, E, F y por último el prisma rectangular (figura 3D) se identifican los vértices, P, Q, R, S, T, U, W, V.

En otras áreas como la geografía, en ramas como la geodesia, topografía, cartografía, un vértice es un punto de mayor altitud de una superficie, que se toma como referencia con respecto de otros, ya sea para señalar una ubicación concreta o indicar una posición con precisión.

La importancia de identificar un vértice en cualquier área, como las que se han mencionado, es poder establecer relaciones que se den entre este punto y el resto de elementos con los que se relacione, permitiendo, desde sus características particulares definir y conocer parámetros de interés.

Vértice de un ángulo

El vértice en un ángulo, es el punto donde dos segmentos de recta se unen, formando una amplitud: esta amplitud es lo que se conoce como ángulo.

El vértice en un ángulo presenta diferentes particularidades, entre las que se pueden mencionar:

• Un ángulo tiene un solo vértice.
• El vértice se indica con una letra mayúscula y en conjunto con los puntos extremos de cada recta, permiten darle nombre al ángulo. En la figura siguiente, el vértice es el punto “A” y el nombre del ángulo sería ∠BAC, colocándose en el medio la letra del vértice.
• Para medir un ángulo utilizando un transportador, se hace tomando como punto medio de referencia el vértice.
• Algunas clasificaciones de los ángulos toman como referencia el vértice en conjunto con los lados o la amplitud del ángulo. Así se tienen, ángulos consecutivos, ángulos adyacentes y ángulos opuestos por el vértice.
• La bisectriz de un ángulo se traza desde el vértice dividiendo el ángulo en dos partes iguales.

Vértices en las figuras geométricas

Como se ha mencionado los vértices en el caso de las figuras geométricas planas (2D), es el punto donde se unen dos segmentos de recta y en una figura geométrica tridimensional (3D), el punto donde concurren dos o más aristas.

Desde esta referencia se mencionan algunas características de los vértices en los polígonos (2D) y en los poliedros (3D).

Vértice de un polígono

De forma general, cada punto en el que los lados se unen es un vértice del polígono. Además, se denota un polígono enumerando sus vértices en orden consecutivo, sin importar el vértice en el que se comience, por ejemplo; se podría nombrar el triángulo ∆DEF.

Los polígonos tienen múltiples vértices, la cantidad dependerá del número de lados de la figura geométrica plana, es decir; el número de vértices coincide con el número de lados, y de esta característica el polinomio recibe su nombre.

Vértice de un triángulo:

• Un triángulo tiene tres vértices, por tener tres lados.
• Las rectas notables del triángulo, como la mediana, altura y bisectriz se trazan desde los vértices. Pudiéndose trazar tres medianas, tres alturas y tres bisectrices.
• En un triángulo no se trazan diagonales.
• En cada vértice del triángulo se forma un ángulo interno y un ángulo externo consecutivo al interno. Por tanto, un triángulo tiene 3 ángulos internos y 3 ángulos externos.

Vértice de un cuadrilátero (cuadrado, rectángulo, rombo y romboide):

• Un cuadrilátero tiene cuatro lados, por tanto, tiene cuatro vértices donde se unen sus lados de dos en dos.
• Los vértices son colineales y coplanares.
• Tiene 2 diagonales, segmentos que se unen por dos vértices no consecutivos.
• En cada vértice se forma un ángulo interno y un ángulo externo.

Vértice de un pentágono:

• Un pentágono tiene un total de 5 vértices.
• Se forman en cada vértice un ángulo interno de medida 108° y un ángulo externo consecutivo de 72°, esto para un pentágono regular.
• De cada vértice parten o concurren exactamente dos diagonales, trazándose un total de cinco diagonales.
• En cada vértice de un pentágono regular, se trazan dos diagonales que trisecan al ángulo de dicho vértice.

Vértice polígonos cóncavos:

Los polígonos cóncavos simples tienen dos tipos de vértices:

• Vértice oreja: cuando la diagonal que se traza desde los vértices vecinos se encuentra dentro del polígono y el ángulo interior del vértice es agudo. En la figura el vértice I es tipo oreja, ya que la diagonal de sus vértices vecinos (F, G) se encuentra dentro del polígono.
• Vértice boca: es aquel cuya diagonal que se traza desde de los vértices vecinos está fuera del polígono, y el ángulo interior es obtuso. En el ejemplo, el vértice G es tipo boca, porque la diagonal de sus vértices vecinos (I, H) se traza fuera del polígono y el ángulo es obtuso.

Vértices y aristas de un poliedro

Los cuerpos tridimensionales los vértices son los puntos donde se unen dos o más aristas. Por su parte, una arista es la línea que se forma cuando se unen dos caras y recíprocamente es la línea que une dos vértices consecutivos.

En un poliedro regular, cada vértice está rodeado por la misma cantidad de caras.

A diferencia de los polígonos, en un poliedro el número de vértices no es igual al número de aristas. Mediante el teorema de Euler, se puede conocer la cantidad de caras, vértices y aristas en un poliedro convexo.

Este teorema relaciona cada uno de los elementos mencionados del poliedro convexo, que establece que el número de caras, el número de aristas y el número de vértices siempre satisface la siguiente igualdad. La relación es la siguiente:

Donde: “C” son las caras, “V” el número de vértices y “A” las aristas.

A manera de ejemplo, para un cubo como el de la figura anterior se debe cumplir que . Verificándo que es un poliedro regular.

Vértice de una parábola

Se denomina vértice de una parábola, al punto donde la parábola corta su eje de simetría.

La parábola está definida por la ecuación cuadrática , en función del signo del coeficiente de x², la parábola puede tener un punto máximo o un punto mínimo.

Si el coeficiente del término x² es positivo, el vértice será el punto más bajo en la gráfica, en cambio; si el coeficiente del término   es negativo, el vértice será el punto máximo en la gráfica.

Si a > 0, el vértice es un valor mínimo

Si a < 0, el vértice es un valor máximo

Para hallar los puntos del vértice de la parábola escrita de forma general se utilizan las fórmulas:

En cuanto a “k” corresponde al punto del vértice en el eje “y”, se calcula en función de “h”, , sustituyendo el valor obtenido en la ecuación cuadrática.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: para los siguientes polígonos indica la cantidad de vértices.

Polígono	Número de vértices

Ver solución

Polígono	Número de vértices
	Tiene 10 vértices.
	Tiene 8 vértices.
	Tiene 4 vértices.

Ejercicio #2

Problema a resolver: dada la siguiente ecuación , halla el vértice de la parábola.

Ver solución

Para hallar el vértice del eje, primero se halla el valor de “h”, que corresponde al punto del eje de las “x”, utilizando la fórmula

a = 1, b = -6.

Luego, para hallar el punto “k” se sustituye el valor de “h” en la ecuación.

El vértice es (3, -4) y como en la ecuación a > 0 el vértice es un valor mínimo.