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Sucesiones numéricas

Conjunto de números, llamados términos, que se escriben siguiendo un orden específico.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Una sucesión numérica es un conjunto de números, llamados términos, que se escriben siguiendo un orden específico.

Una sucesión se puede denotar de forma general de la siguiente manera:

Donde, el número se llama primer término, es el segundo término, es decir; son los términos de sucesión y, en general, es el «n-ésimo término».

De tal manera, que para cada número natural «n» hay un número correspondiente , cuyo lugar específico se indica por el subíndice que acompaña a la letra

Las sucesiones se denotan como los conjuntos, enumerando cada término separa por una coma y encerrados entre llaves {}.

Por ejemplo; se tiene la sucesión:

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Se observa que la sucesión sigue un patrón. Al primer término se le suman 3 dígitos y se obtiene , a este se le suman nuevamente 3 dígitos y se obtiene y así sucesivamente.

Los tres puntos significan que la sucesión es indefinida y continúa manteniendo el mismo esquema para hallar el siguiente término.

Características

Las principales características de las sucesiones numéricas son:

Los números que se encuentran ordenados de manera secuencial.
Una sucesión queda determinada mediante una regla de dependencia entre los términos de la sucesión y el conjunto de los números reales.
Cada uno de los números que conforma la sucesión numérica se conoce como término.
Se puede ordenar de forma creciente si los términos se disponen de forma ascendentes $(a_{n+1}>a_n)$ . Por ejemplo; 4, 7, 10, 13, …
Si los términos se ordenan de manera descendente, se trata de una secuencia de orden decreciente, $(a_{n+1}<a_n)$ . Por ejemplo; 20, 16, 12, 8, 4, 1.
Una sucesión que tiene un número de términos limitados se llama sucesión finita.
Si los términos de la sucesión que tiene un número incontable de términos se llama sucesión infinita.

Tipos

Hay diferentes tipos de sucesiones especiales, las cuales se definen a continuación.

Sucesión aritmética

Es denominada de esta manera porque la diferencia entre un término resulta de sumar o restar un número constante al término anterior. Este número fijo es denominado diferencia común.

Las fórmulas de la secuencia aritmética son las siguientes.

Los términos son de la forma: ${a,a+d,a+2d,a+3d,a+4d,\ \ldots}$ . El primer término se representa como «a», la diferencia común se denota como «d».
El n-ésimo término: $a_n=a+\left(n-1\right)d$ . De esta manera se puede calcular cualquier término de la sucesión.
Para calcular la diferencia se utiliza: $d=a_{n+1}-a_n$ , es decir; se obtiene restando los términos consecutivos.

Si la diferencia entre dos términos consecutivos no es constante en toda la sucesión, entonces la sucesión no es aritmética.

Sucesión geométrica

Para este tipo de sucesión, cada término resulta de multiplicar el término anterior por una cantidad fija. La relación se le conoce como razón común.

Una sucesión geométrica de «n» términos, donde el primer término es «a» y la razón común es la constante «r», tiene la forma:
$a,ar,ar^2,ar^3,\ldots\ ,\ ar^{n-1}, donde a \neq 0$
El término general es: $a_n=ar^{n-1}$
La razón común se calcula dividiendo los términos consecutivos: $r=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ .

Sucesión fibonacci

Esta sucesión toma su nombre de su descubridor, el matemático Fibonacci.

En la secuencia cada término es la suma de los dos elementos anteriores.

Esta tiene la particularidad que los dos primeros términos son 1, donde el término general es:

$a_n=\left\{\begin{matrix}1&Si\ n=1\\1&Si\ n=2\\a_{n-1}+a_{n-2}&Si\ n>2\\\end{matrix}\right\}$

Sucesión cuadrada

En este tipo de sucesión, la diferencia de los términos no es constante, sin embargo; si se vuelven a calcular las diferencias de las primeras diferencias, se notará que ahora sí serán constantes.

De tal manera, que se dice que la sucesión es de 2° grado o cuadrática y su regla tiene la forma:

$x_n=an^2+bn+c$

Donde «x» es el término general, a, b, c son valores fijos.

Sucesión cúbica

En este caso, el cálculo de las dos primeras diferencias serán diferentes. Al repetir el proceso por una tercera vez, se observará que las diferencias serán fijas.

La forma general para encontrar el enésimo término de una secuencia cúbica es:

$x_n=an^3+bn^2+cn+d$

Tanto la sucesión cuadrática como la cúbica siguen una serie de pasos sencillos para encontrar los valores fijos.

Sucesión oscilante

Una sucesión es oscilante si sus términos alternan de mayor a menor o viceversa. Por ejemplo; {2, 1, 4, 2, 3, 2, 5, …}

Por ejemplo, al comparar sus términos se observa que el segundo término es menor que el primero, pero el tercero es mayor que el segundo.

Sucesión alternada

Una sucesión es alternada cuando se alternan los signos de sus términos. Por ejemplo; {-1, 2, -3, 4, …}.

Para alternar los signos es necesario utilizar como factor el término ${(-1)}^n$ .

Las sucesiones definidas anteriormente son de las más conocidas, de esto es necesario mencionar que:

Se pueden hallar los números que faltan o algunos términos específicos utilizando las fórmulas de las secuencias definidas.
Si una sucesión no pertenece a ninguna de las secuencias conocidas, entonces, es necesario observar su patrón para definir el término general.

Ejercicios de ejemplo

Ejercicio #1

Para la sucesión {6, 11, 16, 21, 26, …}, indicar a qué tipo pertenece y calcular el término enésimo.

Ver solución

Para la sucesión 6, 11, 16, 21, 26, … se observa que entre cada término la diferencia es de 5 dígitos $d=a_{n+1}-a_n=11-6=5$ . Por lo tanto, se trata de una sucesión aritmética.

Ahora, para calcular el término enésimo, que no es más que la forma como se desarrollan cada uno de los términos al reemplazarlo por n = 1, n = 2, …;

Se tiene que diferencia es de +5, entonces, sería «5n» pero, además el resultado aumenta en 1, por lo tanto, el término general quedaría $a_n=5n+1$ .

Comprobando que esto es cierto se tiene:

$a_1=5\left(1\right)+1=6$
$a_2=5\left(2\right)+1=11$
$a_3=5\left(3\right)+1=16$
$a_4=5\left(4\right)+1=21$
$a_5=5\left(5\right)+1=26$

Ejercicio #2

Calcular los 4 primeros términos y el décimo término la sucesión cuya fórmula general es: $a_n=n^2-3$

Ver solución

$a_1={(1)}^2-3=-2$
$a_2=\left(2\right)^2-3=1$
$a_3=\left(3\right)^2-3=6$
$a_4=\left(4\right)^2-3=13$
$a_{10}=\left(10\right)^2-3=97$

La sucesión: {-2, 1, 6, 13, …, 97, …}

Bibliografía:
Jiménez, R. (2008). Algebra. PEARSON EDUCACIÓN. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016b). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones. Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2006). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (Quinta Edición). Cengage Learning Editores.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Sucesiones numéricas. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/sucesiones-numericas/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 04 de julio de 2024.

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