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Clasificación de los números
Agrupación de los números en diferentes conjuntos o categorías según sus propiedades y características particulares.
Definición
La clasificación de los números consiste en agrupar los números en diferentes conjuntos o categorías según sus propiedades y características particulares.
Esta categorización es importante en matemáticas por diferentes razones:
- Organización lógica de los números: permite organizar los números de manera lógica, facilitando su comprensión y análisis.
- Facilita la comprender como se relacionan: proporciona una base sólida para comprender cómo se relacionan entre sí, identificar patrones y conexiones en diferentes conjuntos de números.
- Aplicaciones prácticas en diversos contextos: al comprender los diferentes conjuntos de números y sus propiedades, se adquieren las herramientas necesarias para abordar problemas más complejos y resolver una variedad de problemas en diferentes disciplinas matemáticas
- Desarrollo de habilidades matemáticas avanzadas: permite desarrollar habilidades matemáticas para abordar problemas de manera precisa y sistemática en una variedad de contextos prácticos.
Esta agrupación se realiza en 7 conjuntos principales que incluye los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales, los números complejos e imaginarios.
Como se observa en el gráfico de clasificación, muchos números están incluidos en varios conjuntos.
Cada conjunto de número se describe a continuación, con sus propiedades, tipos y ejemplos para su mejor entendimiento.
Números naturales
- Artículo principal: Números naturales.
Los números naturales son aquellos utilizados para contar elementos o representar cantidades enteras no negativas, como 1, 2, 3, 4, y así sucesivamente.
Este conjunto de números está representado en la recta numérica desde el 1 hasta el infinito (∞), ubicándose del lado derecho del cero (0) sin incluirlo y se denotan con la letra , tal que:
Publicidad, continua debajoCaracterísticas
El conjunto de los números naturales, a pesar de ser el más elemental de los conjuntos de números, tiene características importantes definidas y que se utilizan para el resto de conjuntos numéricos.
- Es un conjunto ordenado donde cada número tiene una posición única en la recta numérica, por lo que se puede establecer relaciones de orden como mayor que (>), menor que (<) e igual que (=).
- Es un conjunto infinito, ya que siempre hay otro número natural mayor que cualquier número natural dado.
- Cada número natural tiene un sucesor único, que otro número natural, que le sigue en la recta numérica.
- Los números naturales representan cantidades discretas, sin partes fraccionarias o decimales.
- Tradicionalmente, el número cero no se incluye en los números naturales. Sin embargo, en algunos contextos puede considerarse como parte de estos.
Números enteros
- Artículo principal: Números enteros.
El conjunto de los números enteros se denota con la letra e incluyen tanto los números naturales como sus negativos y el cero.
Se utilizan para representar cantidades completas, ya sea positivas, negativas o neutras.
Se representan en la recta numérica tanto a la derecha como a la izquierda del cero: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Propiedades
- Propiedad Interna: tanto la suma como la multiplicación de números enteros siempre dan como resultado otro número entero. Ejemplo: (-5) + 4 = -1, donde (-1) es un número entero. 6 * 3 = 18, donde 18 es un número entero.
- Propiedad Conmutativa: el orden de los sumandos en una suma o de los factores en una multiplicación no afecta el resultado. Ejemplo: Suma: 100 + (-53) = (-53) + 100 = 47. Multiplicación: (-8) * 3 = 3 * (-8) = -24.
- Propiedad asociativa: la forma en que se agrupan los números enteros en la suma o multiplicación no afecta el resultado. Ejemplo: Suma: (30 + 5) – 20 = 30 + (5 – 20).
- Elemento neutro de la suma: el elemento neutro es el cero (0). Sumar cualquier número entero con cero da como resultado el mismo número entero. Ejemplo: 55 + 0 = 55.
- Elemento neutro de la multiplicación: el elemento neutro es el uno (1). Multiplicar cualquier número entero por uno da como resultado el mismo número entero. 23 * 1 = 23.
- Elemento opuesto: sumar cualquier número entero con su opuesto da como resultado cero (0). Ejemplo: 25 + (-25) = 0
Números racionales
- Artículo racionales: Números racionales.
Se define un número racional, como aquel número que puede expresarse en forma de fracción.
Estos son de la forma , donde el numerador “a” y el denominador “b” son números enteros (), y b > 0.
El conjunto de los números racionales se denota con la letra y, dentro de este conjunto están los números naturales () y enteros (. Donde, .
La relación de pertenencia se muestra en la figura a continuación:
Propiedades
- Son cerrados bajo operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Esto significa que siempre da como resultado otro número racional.
- Pueden tener una representación decimal finita o infinita periódica. Ejemplo: (finito), (infinito periódico) , (infinito periódico).
- Pueden ser positivos o negativos.
- La propiedad conmutativa establece que el orden de los números en una operación no afecta el resultado. Para la suma: . Multiplicación .
- La propiedad asociativa establece que la forma en que se agrupan los números en una operación no afecta el resultado. En la suma: . Para la multiplicación: .
- El elemento neutro es aquel que, al ser operado con otro número, no altera su valor. Para la suma, . Para la multiplicación, .
- La propiedad distributiva establece cómo se relacionan la suma y resta con la multiplicación. Se expresa como .
Números irracionales
- Artículo principal: Números irracionales.
Son números que no pueden expresarse como una fracción y tienen una expansión decimal infinita no periódica. Ejemplos comunes son y el número pi (π).
Los números Irracionales se denota con la letra y son un subconjunto de los números Reales , pero que no pertenecen a los números Racionales ().
Propiedades
-
- La división entre 0 no está definida entre los números irracionales.
- La suma y la multiplicación entre números irracionales no siempre es otro número irracional.
- La suma o resta de un número racional más un número irracional, da como resultado un irracional. Sea, .
- La multiplicación de un número racional diferente de cero, por un irracional da como resultado un número irracional. .
- La división entre un número racional diferente de cero y un número irracional, el cociente es un número irracional. .
- El inverso de un número irracional (elevado -1) es otro número irracional. .
- Para la suma y la multiplicación de números irracionales se cumple la propiedad conmutativa. a + b = b + a , donde y para la multiplicación , donde .
- Para la adición y el producto de irracionales se verifica la propiedad asociativa. , y para la multiplicación donde .
Números reales
- Artículo principal: Números reales.
Los números reales constituyen el conjunto más amplio de número incluyen tanto a los números racionales como a los irracionales.
También se puede decir, que cualquier número racional o irracional es un número real, .
Propiedades
- Entre cualquier par de números reales existe otro número real. Esto significa que están densamente distribuidos en la recta numérica.
- Son un conjunto cerrado bajo las operaciones básicas, es decir; cualquier operación de dos números reales siempre da como resultado otro número real.
- Las propiedades conmutativa y asociativa se cumplen para la suma y multiplicación de números reales:
- Suma: conmutativa: . Asociativa: .
- Multiplicación: conmutativa: a\ \ast\ b\ =\ b\ \ast\ a. Asociativa: .
- La multiplicación se distribuye sobre la suma en los números reales, lo que significa que: .
Números imaginarios
- Artículo principal: Números imaginarios.
Se define matemáticamente un número imaginario, como el resultado de la raíz cuadrada de un número negativo.
Los números imaginarios se construyen a partir de su base, que es la “unidad imaginaria” y se denota con la letra “i”.
Provienen de dar solución a la expresión .
Propiedades
Hay una propiedad interesante de “i”, cuando se eleva a diferentes potencias, este pasa por cuatro valores diferentes completando un ciclo.
Se puede observar, que los resultados exponenciales de “i” se repiten cada cuatro valores siendo, 1, i, -1, -i.
Números complejos
- Artículo principal: Números complejos.
El conjunto de los números complejos se forma de la combinación de un número real y un número imaginario y se denotan con la letra . En términos de conjuntos:
Se puede definir este conjunto de números, como aquellos que se escriben en la forma a + bi.
- Propiedad de cierre o cerradura: para la suma: , se tiene que . En la multiplicación , se tiene que .
- Propiedad conmutativa: en la suma: , se cumple que . En el caso de la multiplicación: , se cumple que .
- Propiedad asociativa: en la suma esta propiedad se expresa como: , se cumple que . En el caso de la multiplicación , se cumple que .
- Propiedad distributiva: , se cumple que .
Bibliografía: |
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Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)
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