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Haude Medina (2024). Sólidos platónicos. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/solidos-platonicos/). Última edición: abril 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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Contenidos

Sólidos platónicos

Conjunto especial de poliedros convexos que cumplen con ciertas características geométricas distintivas.

7m
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Tabla de contenidos:

Definición

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Los sólidos platónicos son un conjunto especial de poliedros convexos que cumplen con ciertas características geométricas distintivas.

En términos simples, son poliedros en los que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí y todos sus ángulos son congruentes.

Estos sólidos son únicos en el sentido de que poseen caras idénticas y regulares, vértices donde se encuentran un número igual de aristas y caras, además, las aristas tienen la misma longitud.

Existen solo cinco sólidos platónicos, cada uno con un nombre y características únicas: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.

Los sólidos platónicos también son conocidos como sólidos perfectos, poliedros platónicos o de cuerpos cósmicos entre otros.

Origen y descubrimiento

Los sólidos platónicos son un conjunto de cinco poliedros especiales estudiados y clasificados por el filósofo y matemático Platón en la antigua Grecia.

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Según Platón, los sólidos platónicos están relacionados con los cuatro elementos básicos: tierra, aire, agua y fuego.

De esta manera, asoció el tetraedro con el fuego, el cubo con la tierra, el octaedro con el aire, el icosaedro con el agua y el dodecaedro con el cosmos o el universo en su conjunto.

La contribución de Platón no solo se limitó a la clasificación y la teoría, sino que también atribuyó un significado filosófico y metafísico a estos sólidos, considerándolos como formas geométricas perfectas.

Después de Platón, otros matemáticos y filósofos, como Euclides, también estudiaron y profundizaron en el conocimiento de los sólidos platónicos.

Elementos

Por ser poliedros, los sólidos platónicos heredan los elementos de estas figuras tridimensionales. os cuales se describen en su forma elemental.

    • Caras: cada sólido platónico está formado por un número específico de caras regulares. En cada sólido platónico sus caras son idénticas entre sí y son polígonos regulares.
    • Aristas: las aristas son los segmentos de línea que unen dos vértices de un poliedro. Todas las aristas son del mismo tamaño y se encuentran en el mismo número en cada vértice
    • Vértices: los vértices son los puntos donde se encuentran tres o más aristas. Cada vértice está conectado a un cierto número de aristas y caras, dependiendo del sólido.
    • Ángulos: los ángulos son las medidas entre dos aristas que se encuentran en un vértice.

Tipos

A continuación, se describen cada uno de los sólidos platónicos.

Tetraedro

El tetraedro es el más simple de los sólidos platónicos. Es también conocido como «pirámide triangular», ya que sus caras son triángulos.

Está formado por cuatro caras triangulares equiláteras, seis aristas y cuatro vértices, siendo importante destacar que todos los ángulos y aristas del tetraedro son iguales.

Propiedades

Posee varias propiedades distintivas, las más elementales se mencionan a continuación:

  • Un tetraedro posee 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.
  • Un vértice está conectado a tres aristas y, por lo tanto, a tres caras.
  • Cada arista está conectada a dos vértices y, por lo tanto, delimita dos caras.
  • Las caras del tetraedro son triángulos, cada uno de ellos comparte aristas con las otras tres caras.
  • A diferencia de otros sólidos platónicos, un tetraedro no tiene caras paralelas.
  • Los cuatro vértices están equidistantes entre sí.
  • La medida de los ángulos diedros es de 70.53°.

Cubo

El cubo es probablemente el sólido platónico más conocido. También se le conoce como hexaedro regular o prisma cuadrado.

Tiene 6 caras que son cuadrados, 12 aristas y 8 vértices. Todas las aristas y ángulos del cubo son iguales, lo que le confiere una simetría extraordinaria.

El cubo se considera una de las formas más simples en el espacio tridimensional.

Propiedades

  • Un cubo consiste de 6 caras que son polígonos cuadrados, 12 aristas y 8 vértices.
  • Su largo, ancho y altura son iguales.
  • Las aristas opuestas del cubo son paralelas entre sí.
  • Las caras opuestas de un cubo son paralelas entre sí.
  • El ángulo que se forma entre dos caras es un ángulo que mide 90°.
  • El cubo tiene cuatro diagonales.

Octaedro

Un octaedro es un poliedro regular que se caracteriza por tener ocho caras triangulares equiláteras.

Al igual que en los otros sólidos platónicos, todas las aristas y ángulos del octaedro son iguales.

Este tipo de figuras tienen la forma de una pirámide cuadrada doble.

Propiedades

A continuación, se describen las propiedades principales del octaedro:

  • El octaedro está compuesto por 8 caras triangulares equiláteras, lo que significa que todos sus lados tienen la misma longitud.
  • Todos sus ángulos internos miden 60 grados.
  • La medida de los ángulos diedros es de 109.47°
  • Cada cara es idéntica a las demás, lo que proporciona una simetría notable al sólido.
  • Posee 6 vértices, en cada vértice se juntan 4 triángulos.
  • Cada vértice está conectado por aristas a otros cuatro vértices.
  • En total, un octaedro tiene 12 aristas, donde cada arista conecta dos vértices.

Dodecaedro

El dodecaedro es un sólido platónico que posee 12 caras pentagonales regulares, treinta aristas y veinte vértices.

Cada ángulo y cada arista son iguales en este sólido, lo que contribuye a su simetría y belleza geométrica.

Propiedades

A continuación, se describen las propiedades principales del dodecaedro:

  • El dodecaedro está formado por 12 caras pentagonales regulares, donde cada lado de cada cara tiene la misma longitud.
  • Cada ángulo interior mide 108 grados. Esto significa que cada una de las caras es un pentágono equilátero.
  • Los ángulos diedros miden 116.56°
  • Tiene 20 vértices, en cada vértice se encuentran tres caras pentagonales.
  • En total posee 30 aristas.
  • Este sólido platónico tiene 160 diagonales.

Icosaedro

El último de los sólidos platónicos es el icosaedro, que tiene veinte caras triangulares equiláteras, treinta aristas y doce vértices.

Los icosaedros es el sólido platónico con mayor número de caras, además, posee un volumen mayor con relación a su área superficial.

Propiedades

  • El icosaedro tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices.
  • La forma de cada cara es un triángulo equilátero.
  • Cada cara triangular comparte dos aristas con otras caras, lo que da un total de 30 aristas.
  • La medida del ángulo diedro es de 138.19º.

Área y volumen

En la tabla a continuación se especifican las fórmulas para calcular el área y el volumen de cada sólido platónico, a partir de la longitud de su arista (a).

Figura Área Volumen
Tetraedro A=\sqrt3\ast a^2 V=\frac{\sqrt2}{12}\ast a^3
Cubo A=6\ast a^2 V=a^3
Octaedro A=\sqrt3\ast{2a}^2 V=\frac{a^3\ast\sqrt2}{3}
Dodecaedro A=3a^2\ast\sqrt{25+10\sqrt5} A=3a^2\ast\sqrt{25+10\sqrt5}
Icosaedro A=5a^2\ast\sqrt3 V=\frac{5a^3}{12}(3+\sqrt5)

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

¿Qué nombre recibe el sólido platónico que sus caras son pentágonos regulares?

Ver solución

El único sólido platónico cuyas caras son pentágonos regulares es el Dodecaedro.

Ejercicio #2

Para la información suministrada, indique a que tipo de sólido platónico corresponde.

No. Caras No. Vértices No. Aristas Sólido Platónico
20 12 30
4 4 6
8 6 6
6 8 12
12 20 30

Ver solución

No. Caras No. Vértices No. Aristas Sólido Platónico
20 12 30 Icosaedro
4 4 6 Tetraedro
8 6 6 Octaedro
6 8 12 Cubo
12 20 30 Dodecaedro
Bibliografía:
  • Bruño, G.M. (s/f ). Elementos de la Geometría. Editorial Bouret.
  • Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador.
  • Siu Kochoy, R., & Andaluz, C. (2019). Geometría del espacio: ejercicios y problemas. Fondo Editorial Universidad del Pacífico.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2024). Sólidos platónicos. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/solidos-platonicos/). Última edición: abril 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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