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Productos notables

Fórmulas o patrones específicos que permiten simplificar cálculos y resolver ecuaciones de manera más sencilla.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

En matemática, los productos notables son fórmulas o patrones específicos que permiten simplificar cálculos y resolver ecuaciones de manera más sencilla.

Los productos notables expresan la multiplicación de dos o más binomios y permiten simplificar el proceso de multiplicación.

Al aplicar ciertas reglas que facilitan el proceso de solución, se evita tener varios términos y variables, haciendo el proceso más directo y simple.

El resultado de aplicar las fórmulas de los productos notables a una multiplicación de polinomios, es el mismo que se obtendría al desarrollar el producto de cada término algebraico.

¿Qué hace que un producto sea notable?

El producto refiere a la multiplicación de varios polinomios y notable es algo que llama la atención o se destaca, en este caso, entre otro tipo de operaciones algebraicas.

Entonces, lo que hacen que un producto notable son sus características y reglas que se cumplen para obtener el resultado de la multiplicación de ciertos polinomios mediante simple observación.

Estos tipos de procedimientos están relacionados con las fórmulas de la «factorización», siendo procesos inversos.

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Características

Entre las características de los productos notables se encuentran:

Los productos notables permiten simplificar cálculos algebraicos complejos de manera rápida y eficiente.
Son fórmulas que simplifican algunas multiplicaciones especiales entre polinomios.
Su aplicación cumple ciertas reglas para casos específicos de productos de expresiones algebraicas.
Para cada producto notable existe una fórmula de para factorizar una expresión algebraica y viceversa.
Su utilidad se resume en que permiten simplificar ciertos procesos matemáticos sin tener que aplicar un algoritmo de multiplicación.

Dominar los productos notables prepara el terreno para la comprensión de conceptos más avanzados en álgebra y matemáticas en general.

Tipos

A continuación, se desarrollan diferentes tipos de productos notables, indicando para qué caso se aplica y cuál es su fórmula de solución.

A. Cuadrado de un binomio

Es también llamado «Binomio al cuadrado».

Corresponde a un binomio que se multiplica por sí mismo siendo de la forma ${(a+b)}^2 o {(a-b)}^2$ .

Cuadrado de la suma de dos términos ${(a+b)}^2$

El primer caso se le conoce también como «Cuadrado de la suma de dos términos», que corresponde a la forma: ${(a+b)}^2$

Fórmula de solución: «es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término»

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Esta regla resulta de multiplicar término a término, donde el primer término del binomio es y el segundo término es «b».

La multiplicación de $(a\ast a)=a^2\$ , luego se suman los términos semejantes $\left(ab\right)+(ab)$ resultando 2ab y por último (b * b) es igual a $b^2$ . Por último, se organizan los resultados:

Cuadrado de la resta de dos términos ${(a-b)}^2$

Es llamado «Cuadrado de la diferencia de dos términos», y es de la forma: ${(a-b)}^2$

Fórmula de solución: «es igual al cuadrado del primer término, menos el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término»

${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

La regla para resolver la diferencia de un binomio al cuadrado es similar al de la suma del binomio al cuadrado, pero en este caso se debe considerar el signo negativo (-).

El patrón resultante es:

B. Producto de binomio conjugados

El producto de binomios conjugados es el «producto de la suma de dos términos por la resta de estos dos términos».

Dos binomios se conjugan son de la forma: $\left(a+b\right)\ast(a-b)$ , donde los binomios solo se diferencian por el signo de la operación matemática.

Fórmula de solución: «la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término».

$\left(a+b\right)\ast(a-b)=a^2-b^2$

La multiplicación término a término es de la manera siguiente:

C. Producto de dos binomios con un término común

Este producto notable es de la forma: $\left(x+a\right)\ast(x+b)$ , donde los binomios presentan un solo término en común.

Fórmula de solución: «es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término no común, más el producto de los términos no comunes»

$\left(x+a\right)\ast\left(x+b\right)=x^2+\left(a+b\right)x+(ab)$

Se desarrolla como se indica:

Para el producto de dos binomios con un término en común se pueden dar varios casos que dependen si los binomios están sumando o restando.

En la tabla siguiente se indica cada caso con su fórmula de solución:

Caso	Fórmula de solución
$\left(x+a\right)\ast\left(x-b\right)$	$x^2+\left(a-b\right)x-\left(ab\right)$
$\left(x-a\right)\ast\left(x-b\right)$	$x^2-\left(a+b\right)x+\left(ab\right)$

D. Binomio al cubo

Para el producto notable del binomio al cubo, se presentan dos tipos:

Binomio al cubo de una suma ${(a+b)}^3$

Para halla el cubo de la suma de un binomio la fórmula dice lo siguiente:

Fórmula de solución: «se llevar el primer término al cubo, más el triple del producto del primer término al cuadrado por el segundo término, más el triple del producto del primer término por el segundo término al cuadrado, más el cubo del segundo término»

${(a+b)}^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2$

Binomio al cubo de una resta ${(a-b)}^3$

La resta del cubo de un binomio es del tipo ${(a-b)}^3$ . Su fórmula de solución sigue un patrón similar al caso anterior, pero los signos del segundo y el cuarto términos son negativos.

Fórmula de solución: «Elevar el primer término al cubo, menos tres veces el cuadrado del primer término por el segundo término, más tres veces el primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término»

${(a+b)}^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^2$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Desarrollar el binomio al cuadrado ${(2b\ +5)}^2$ .

Ver solución

Aplicando la fórmula de la suma de un binomio al cuadrado:

${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

$\left(2b\ +5\right)^2={(2b)}^2+2\left(\left(2b\right)\left(5\right)\right)+\left(5\right)^2$

Resolviendo los productos y potencias:

$\left(2b\right)^2+2\left(\left(2b\right)\left(5\right)\right)+\left(5\right)^2$

$4b^2+20b+25$

La solución es: ${(2b\ +5)}^2_4b^2+20b+25$

Ejercicio #2

Desarrollar el producto de binomios con un término en común $(t+7)(t-5)$ .

Ver solución

Este caso se solución según la fórmula de producto notable:

$\left(x+a\right)\ast\left(x-b\right)=x^2+\left(a-b\right)x-\left(ab\right)$

$\left(t+7\right)\left(t-5\right)=t^2+\left(7-5\right)t-\left(\left(7\right)\left(5\right)\right)$

$=t^2+2t-35$

Solución: Por lo que $(t+7)(t-5)=t^2+2t-35$

Ejercicio #3

Hallar el resultado del producto de los binomios $\left(3a+5\right)(3a-5)$

Ver solución

Se trata del producto de binomios conjugados que se resuelven utilizando la fórmula:

$\left(a+b\right)\ast(a-b)=a^2-b^2$

$\left(3a+5\right)\left(3a-5\right)={(3a)}^2-\left(5\right)^2=9a^2-25$

El resultado es: $\left(3a+5\right)\left(3a-5\right)=9a^2-25$

Bibliografía:
Cabral, A., Barrera, M., & Martínez, L. (2021). Álgebra. Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche. Jiménez, R. (2008). Algebra. Pearson Educación de México, S.A Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2024). Productos notables. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/productos-notables/). Última edición: abril 2024. Consultado el 03 de mayo de 2024.

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