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Ecuaciones exponenciales

Ecuaciones en las que el exponente es una expresión que contienen una incógnita.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que el exponente es una expresión que contienen una incógnita.

En su forma más básica, una ecuación exponencial se presenta como:

$a^x=b$

Donde:

$a\neq0 y b$ son números reales
$x$ es la incógnita que se debe hallar.

Por ejemplo, $2^x=8$ es una ecuación exponencial, debido a que existe una igualdad (ecuación) y la potencia tiene en su exponente una incógnita.

Para entender este tipo de ecuaciones, es necesario comprender las propiedades de las potencias, debido a que ayudan a simplificar y resolver estas ecuaciones de manera efectiva.

Por ejemplo, una de las propiedades básicas de la potencia que se utiliza es la que refiere a las potencias de igual base.

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Si $a>0\ y\ a\neq1$ entonces:

$a^x=a^y\ entonces\ x=y\ (igual\ base)$

Se debe notar que si a = 1 entonces x puede ser diferente de y.

Propiedades

Si dos potencias con la misma base son iguales, entonces sus exponentes también son iguales. Es decir, si $a^x=a^y\$ entonces $x=y$ .
Para $a^x>0\$ para todo número real x, la ecuación exponencial es positiva.
Si «x» e «y» son números reales y para «a» y «b» números reales positivos, entonces se verifica que:
- $a^x\ast a^y=a^{x+y}$
- $\left(a\ast b\right)^x=a^x\ast b^x$
- $\left(a^x\right)^y=a^{x\ast y}$
- $\left(\frac{a}{b}\right)^x=\frac{a^x}{b^x}$
- $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$
- $\frac{a^x}{b^x}=a^{x-y}$

Tipos

Existen diferentes tipos de ecuaciones exponenciales, cada una con características y métodos de resolución específicos. Algunos de los tipos más comunes incluyen:

Ecuaciones exponenciales básicas: son aquellas en las que la incógnita se encuentra en el exponente de una única base. Por ejemplo: $2^x = 8$ .
Ecuaciones exponenciales con igualación de bases: estas ecuaciones involucran más de una base exponencial, pero los exponentes son desconocidos. El objetivo es igualar las bases para resolver la ecuación. Por ejemplo: $2^x=4^y el 4^y$ puede expresarse en una potencia de base 2.
Ecuaciones exponenciales con diferente base: es cuando se tiene a cada miembro de la ecuación una potencia, pero con base diferentes. Ejemplo: $3^{1-x^2}=2$ .
Ecuaciones exponenciales lineales: son ecuaciones exponenciales donde el exponente es una expresión lineal en la incógnita. Por ejemplo: $3^{x+1}=9$ .
Ecuaciones exponenciales con exponentes fraccionarios: en estas ecuaciones, los exponentes pueden ser fracciones. Por ejemplo: $2^\frac{2}{x}=4$ .
Ecuaciones exponenciales con suma de potencias: pueden ser de igual base o diferente base pero que están relacionadas mediante potencias. Ejemplo: $2^x+2^{x+1}=12$ .

Resolución

Cada tipo de ecuación exponencial requiere un enfoque específico para su resolución, utilizando propiedades de las potencias, logaritmos u otras técnicas algebraicas.

Es importante reconocer el tipo de ecuación exponencial presente para aplicar el método de resolución adecuado.

1. Resolver ecuaciones exponenciales con igual base

Para resolver las ecuaciones exponenciales con igual base en ambos lados de la igualdad, simplemente se aplica la propiedad de igualdad de las ecuaciones exponenciales.

Si se tiene una ecuación del tipo $a^x=a^y$ , donde «a» es la base común, se igualan las bases para poder comparar los exponentes.
Una vez que las bases están igualadas, puedes igualar los exponentes x=y. Deberían ser iguales para que ambas partes de la ecuación sean equivalentes y esto dará una nueva ecuación en términos de las incógnitas.
Con los exponentes iguales, se puede resolver la ecuación resultante para encontrar el valor de la incógnita.

Ejemplo:

$4^{2x+1}=4^3$ (igual base, se igualan los exponentes)

$2x+1=3$ Se resuelve la incógnita.

$2x+1=3$

$2x=3-1\ \Rightarrow x=\frac{4}{2}$

$x=2$

La solución de la ecuación exponencial es x=2.

2. Resolver ecuaciones exponenciales con igualación de base

Este método se aplica cuando se tienen dos bases exponenciales distintas, pero igualarlas podría facilitar la resolución.

Entonces, se trata conseguir la misma base a ambos lados de la igualdad utilizando diferentes artificios matemáticos.

Una vez igualadas las bases se pueden comparar los exponentes y resolver la ecuación empleando el método de resolución anterior.

Por ejemplo, si se tiene:

$5^x=125$

Reescribir el número 125 como una potencia de base 5 (se descompone en factores), para obtener exponenciales de igual base en ambos lados de la ecuación: $125=5^3$ .
Ahora las bases son iguales: $5^x=5^3$ . Por lo tanto, se pueden igualar los exponentes: $x=3$

La solución de la ecuación exponencial es x = 3.

3. Resolver ecuaciones exponenciales empleando logaritmos

Este método se utiliza cuando se tienen exponenciales de diferente base y que no son fácilmente de igualar.

Se convierte la ecuación exponencial a la forma logarítmica usando la fórmula: $b^x=a\Longleftrightarrow\log_b{a}=x$ .
Se toma el logaritmo (log) en ambos lados de la ecuación para despejar la incógnita.
También es conveniente considerar las propiedades del logaritmo según sea el caso.

Por ejemplo, si se considera la ecuación:

$7^x=9$

Se extrae la incógnita del exponente aplicando logaritmos en base 10 a ambos lados de la ecuación:

$\log{\left(7^x\right)}{=}\log{(9)}$

Se usa la propiedad de logaritmos: $\log_b{\left(b^k\right)=}k$ .

$x\log{(7)}=\log{(9)}$

$x=\frac{\log{(9)}}{\log{(7)}}=1.1291$

La solución de la ecuación exponencial es x = 1.1291.

4. Resolver ecuaciones exponenciales con suma de potencias

Cuando tiene una ecuación exponencial con la suma de potencias de igual base, se puede aplicar la propiedad de multiplicación de potencias de igual base.

Utiliza la propiedad de multiplicación de potencias de igual base: $a^x\ast a^y=a^{x+y}$ .
Se reescribe la ecuación haciendo un cambio de variable, utilizando otra letra diferente de la incógnita exponencial.
Se sustituye la nueva ecuación en la ecuación exponencial.
Se resuelve la nueva incógnita para luego deshacer el cambio de variable por la incógnita original.

Por ejemplo, si se tiene

$3^{x+1}+3^x=12$

Aplicar la propiedad del producto de dos potencias de igual base de manera inversa: $3\ast3^x+3^x=12$ .
Se realiza el cambio de variable haciendo $t=3^x$ .
Se sustituye la nueva ecuación en la ecuación exponencial $3\ast t+t=12$ .
Se resuelve la incógnita: $4t=12 \Rightarrow t=\frac{12}{4} \Rightarrow t=3$ .
Se deshace el cambio de variable: $3^x=3$ . Obteniendo que x = 1.

Ejercicio resuelto

Resuelva la ecuación exponencial $2^{x+5}=32$ .

Ver solución

Para resolver la ecuación $2^{x+5}=32$ , se pueden seguir estos pasos:

Igualar las bases ya que a ambos lados de la ecuación se puede expresar en potencia de base 2. Siendo $32=2^5$ .
Igualar los exponentes: establece la igualdad entre los exponentes: $x+5=5$ .
Resolver la ecuación resultante: $x+5=5\ \Rightarrow x=5-5\ \Rightarrow x=0$

Por lo tanto, la solución para la ecuación $2^{x+5}=32 es x=0$ .

Bibliografía:
Haeussler, E. y Paul, R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía; con la colaboración de Víctor Ibarra Mercado. Editorial Prentice Hall. Quinta edición. México. Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Córdoba. Universidad Jesuita. Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2006). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (Quinta Edición). Cengage Learning Editores.

Bibliografía:

Haeussler, E. y Paul, R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía; con la colaboración de Víctor Ibarra Mercado. Editorial Prentice Hall. Quinta edición. México.
Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Córdoba. Universidad Jesuita.
Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2006). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (Quinta Edición). Cengage Learning Editores.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2024). Ecuaciones exponenciales. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/ecuaciones-exponenciales/). Última edición: abril 2024. Consultado el 02 de mayo de 2024.

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