Enciclopedia Iberoamericana
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Mínimo común múltiplo
Menor múltiplo común, diferente de cero, entre los números dados.
Definición
Se define el mínimo común múltiplo de dos o más números, como el menor múltiplo común, diferente de cero, entre los números dados.
El mínimo común múltiplo se denota con la abreviatura m.c.m. o mcm. Así, sean los números “a” y “b”, se escribe el m.c.m(a,b) o como mcm(a,b).
Ahora bien, para entender la definición de mínimo común múltiplo, es necesario recordar que el múltiplo de un número, son los números que resultan de multiplicar dicho número por todos los números naturales.
Esto hace que lo múltiplos de un número sean infinitos. Por ejemplo, los múltiplos de 3 son: (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,…) y continúan, estos resultan de multiplicar: 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9, 3×4=12,…
Se deben señalar algunas características del mínimo común múltiplo, que pueden facilitar su cálculo, de presentarse alguno de los casos en cuestión.
- Para dos números divisibles entre sí, el m.c.m., es el número mayor de ellos. Por ejemplo: m.c.m (8,24) = 24.
- El m.c.m. de dos números primos, se obtiene multiplicándolos entre sí. Por ejemplo: m.c.m (3,13), es el resultado de multiplicar 3×13=39.
¿Cómo se calcula?
Existen varios métodos para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números.
Método de múltiplos
Este método consiste en hacer una lista de los múltiplos de cada uno de los números dados, para seleccionar el menor múltiplo común hallado. Para dos números “p” y “q”, si se desea hallar el m.c.m (p, q) los pasos serían:
Publicidad, continua debajo- Paso 1: hacer una lista de los primeros múltiplos de “p” y “q”.
- Paso 2: marca los múltiplos comunes de ambos números.
- Paso 3: seleccionar el menor múltiplo común de los marcados. El cual será el m.c.m de los números “p” y “q”
Analizando estos pasos mediante un ejemplo se tiene:
Hallar el m.c.m de 6 y 18.
Múltiplos de 6 = (6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…)
Múltiplos de 18 = (18, 36, 54, 72, 90,…)
Se observa, que ambos tienen múltiplos comunes, los cuales son, 18, 36, 54. El siguiente paso es seleccionar el menor múltiplo común, que es 18, por tanto, mcm (6,18) = 18.
Para más de dos números el procedimiento es el mismo. No obstante, este método quizás se convierta en un proceso extenso cuando se trate de encontrar el m.c.m. para números más grandes.
Método de descomposición de factores primos
Los factores o números primos son aquellos que solo se dividen exactamente por la unidad (1) y por el mismo número. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11,…
A través de este método se hace la descomposición factorial de cada número, a los que se les desea hallar el m.c.m, para luego ser expresados a manera de factores primos. El m.c.m. resultará del producto de los factores comunes mayores y los no comunes.
Mediante un ejemplo se realiza la explicación de los pasos para desarrollar este método. Hallar el m.c.m (18, 30).
Paso 1
Descomponer cada uno de los números en factores primos. Esto se hace dividiendo el número por el menor primo posible de manera exacta, el resultado o cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto. Esto se repite hasta llegar a un cociente igual a 1.
| Factor | |||
| 18 | 2 | 18 ÷ 2 = 9 | Se divide 18 entre 2, el primer factor primo |
| 9 | 3 | 9 ÷ 3 = 3 | El 9 no es divisible entre 2, es divisible a 3 |
| 3 | 3 | 3 ÷ 3 = 1 | El 3 es divisible a 3 |
| 1 | El cociente es 1, ya no se puede continuar descomponiendo. |
18 = 2 x 32 El 18 expresado en factores primos
| Factor | |||
| 30 | 2 | 30 ÷ 2 = 15 | Se divide 30 entre 2, el primer factor primo |
| 15 | 3 | 15 ÷ 3 = 5 | El 15 no es divisible a 2, es divisible a 3 |
| 5 | 5 | 5 ÷ 5 = 1 | El 5 es divisible entre 5 |
| 1 | El cociente es 1, ya no se puede continuar descomponiendo. |
30 = 2 x 3 x 5 El 30 expresado en factores primos
Paso 2
De la descomposición factorial de cada número, se toman los factores primos comunes con el mayor exponente y los no comunes. En este caso, el 18 y 30 tienen como factor primo el 2, el 32 y el no común el 5.
Paso 3
Para hallar el m.c.m se multiplican los factores primos seleccionados.
m.c.m (18, 30) = 2 x 32 x 5 = 2 x 9 x 5 = 90. El m.c.m (18, 30) = 90.
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor
Una vez conocido como hallar el mínimo común múltiplo, se hace necesario conocer cuándo utilizarlo. Sobre todo, cuando también se tiene el Máximo Común Divisor y se debe elegir entre uno u otro para dar respuesta al problema matemático.
Entre el m.c.m. y el M.C.D., existen diferencias y similitudes que pueden ayudar a diferenciar cuál utilizar y en qué casos hacerlo.
| Mínimo Común Múltiplo | Máximo Común Divisor | |
| Semejanzas | Se pueden obtener mediante el método de descomposición factorial | |
| Diferencias | Es el menor múltiplo común entre dos o más números dados. | Es el mayor número que divide exactamente a dos o más números dados. |
| En la descomposición factorial se seleccionan los factores comunes mayores y los no comunes. | En la descomposición factorial se toman los factores primos comunes menores. | |
| Se utiliza cuando se desea conocer algo que se repite en el tiempo, o cuando coinciden. Coincidir, repetición, en mínima cantidad. | Se utiliza cuando se desea repartir, en partes iguales lo más grande posible. Dividir, repartir, agrupar, cortar, en máxima cantidad posible. | |
| Útil para operar fracciones con diferente denominador convirtiéndolas en homogéneas. | Útil para simplificar fracciones, permite conocer el divisor común para los números de la fracción. | |
Ejemplos
Algunos ejemplos de mínimo común múltiplo son:
| Conjunto | Mínimo común múltiplo |
| m.c.m (5,16) | 80 |
| m.c.m (3,6) | 6 |
| m.c.m (18,34) | 306 |
| m.c.m (6,88) | 264 |
| m.c.m (2,12) | 12 |
| m.c.m (3,22) | 66 |
| m.c.m (7,13) | 91 |
| m.c.m (13,23) | 299 |
| m.c.m (8,9,12) | 72 |
Ejercicios resueltos
Ejercicio #1
Problema a resolver: hallar el m.c.m. de 24 y 36 utilizando el método de múltiplos.
Ver solución
Se hace la lista de múltiplos de cada número
24 = 24, 48, 72, 96, 120
36 = 36, 72, 108
El m.c.m (24,36) = 72
Ejercicio #2
Problema a resolver: dos corredores practican para la competición de atletismo nacional. Si un corredor tarda 90 segundos en dar una vuelta completa y el otro corredor tarda 108 segundos. Si salen al mismo tiempo, en qué segundo coincidirán.
Ver solución
El problema pretende halla el tiempo en que ambos corredores coinciden, por lo que se debe utilizar el m.c.m., para hallar la solución.
Primero de descomponen en factores primos los números 90 y 108.
| Factor | |||
| 90 | 2 | 90 ÷ 2 = 45 | |
| 45 | 3 | 45 ÷ 3 = 15 | |
| 15 | 3 | 15 ÷ 3 = 5 | |
| 5 | 5 | 5 ÷ 5 = 1 | |
| 1 |
90 = 2 x 32 x 5
| Factor | |||
| 108 | 2 | 108 ÷ 2 = 54 | |
| 54 | 2 | 54 ÷ 2 = 27 | |
| 27 | 3 | 27 ÷ 3 = 9 | |
| 9 | 3 | 9 ÷ 3 = 3 | |
| 3 | 3 | 3 ÷ 3 = 1 | |
| 1 |
108 = 22 x 33
Para hallar el m.c.m. se seleccionan los factores comunes mayores y los no comunes.
m.c.m (90, 108) = 22 x 33 x 5 = 4 x 27 x 5
m.c.m (90, 108) = 540.
Los dos corredores coincidirán pasado el segundo 540.
Ejercicio #3
Problema a resolver: una enfermera atiende a tres pacientes en una misma habitación. La enfermera desea conocer en qué tiempo coincide el darle los medicamentos a los tres pacientes. Considerando que el paciente 1 toma su tratamiento cada 3 horas, el paciente 2 cada 8 horas y el paciente 3 cada 6 horas.
Ver solución
Por ser números pequeños se puede utilizar el método de múltiplos.
3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,…
6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42,…
8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48,
El m.c.m(3,6,8) = 24.
Por lo que la enfermera debe aplicar el tratamiento simultáneamente a los tres pacientes cada 24 horas.
| Bibliografía: |
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Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)
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