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Geometría

Asíntota

Líneas rectas imaginarias a las que se acercan cada vez más una función matemática.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Las asíntotas son líneas rectas imaginarias a las que se acercan cada vez más una función matemática, pero nunca llegan a tocarla.

En otras palabras, representan los límites o comportamientos extremos de una función a medida que nos alejamos hacia el infinito (positivo o negativo).

Una asíntota proporciona información valiosa sobre cómo se comportan las funciones en situaciones límite.

La representación de estas líneas se hace por lo general, mediante trazos punteados (líneas imaginarias) y permiten tener certezas de que la curva nunca coincida con la asíntota.

La distancia entre la asíntota de una función y = f(x) y su gráfica se reduce a aproximadamente 0 a medida que el valor de x = 0 y se acerca a infinito positivo o negativo.

La gráfica muestra la asíntota vertical en línea punteada verde y la asíntota oblicua en color rojo para la representación gráfica de una función función y = f(x), graficada en azul.

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Tipos

Asíntotas horizontales

Estas son líneas horizontales (y = constante) a las que se acerca la función a medida que x tiende hacia el infinito positivo o negativo.

Aparecen en funciones racionales y su ecuación tiene la forma y = k. donde, k es un número real al que se aproxima la función cuando el valor de x es considerablemente grande o pequeño.

Por ejemplo, considera la función $f(x)\ =\ \frac{x}{2x+2}$ , hay una asíntota horizontal para y = 0.5.

A medida que x se vuelve más grande o más pequeño, f(x) se acerca cada vez más a y = 0.

En la gráfica la asíntota horizontal es la línea punteada de color verde.

Asíntotas verticales

Son líneas verticales (x = constante) a las que se acerca la función cuando x se acerca a un valor específico.

Su ecuación tiene la forma x = k, cuando $y\rightarrow\infty o y\rightarrow\ -\infty$ .

Para la misma función, $f(x)\ =\ \frac{x}{2x+2}$ , hay una asíntota vertical en x = -1.
La asíntota vertical se representa en la gráfica con línea punteada color rojo.

Asíntotas oblicuas

También conocidas como asíntotas inclinadas, estas son líneas diagonales a las que se aproxima la función a medida que x se aleja hacia el infinito.

Estas asíntotas se presentan en funciones racionales en las que el grado del numerador es exactamente uno mayor que el grado del denominador.

En la función $f(x)\ =\ \frac{(x^2\ +\ 1)}{(x\ -\ 1)}$ , hay una asíntota oblicua cuya que a medida que x tiende hacia infinito, f(x) se acerca a esta línea oblicua. por lo tanto, su ecuación tiene la forma y = mx + b.

La gráfica presenta la asíntota oblicua de color morado.

Cada tipo de asíntota tiene sus propias características y se aplica en situaciones específicas al graficar funciones matemáticas.

Cuando una función tiene asíntota horizontal, no se presenta asíntota oblicua.

Cálculos

Como se mencionó, la asíntota puede ser una línea horizontal, vertical o inclinada, cada una con su ecuación tiene la forma y = k, x = k, y = mx + b, respectivamente.

El cálculo de las asíntotas puede variar dependiendo del tipo de asíntota, por lo que se presenta como hallar cada tipo de asíntota de una función y = f(x).

Cálculo de asíntota horizontal

Para encontrar una asíntota horizontal, sigue estos pasos:

Igualar el denominador de la función a cero (0).
Comparar el grado del denominador y el grado del numerador, es decir, el grado del polinomio que se encuentra en el numerador y el grado del polinomio del denominador de la función.
En la función estudiada en la definición de asíntota horizontal $f(x)\ =\ \frac{x}{2x+2}$ , se tiene que el grado del numerador (GN) es 1, al igual que el grado del denominador (GD).
Al realizar la comparación se pueden dar los siguientes casos:
1. Si el GN < GD, la asíntota es y = 0
2. Si GN = GD, para obtener la asíntota se divide el coeficiente principal del numerador entre el coeficiente principal del denominador.
3. Si el GN > GD, no hay asíntota horizontal.

Para la función $f(x)\ =\ \frac{x}{2x+2}$ , como GN = GD, se dividen los coeficientes principales del numerador y denominador $y=\frac{1}{2}\rightarrow y=0.5$ .

Cálculo de asíntota vertical

Una asíntota inclinada tiene la forma $y\ =\ mx\ +\ b$ donde $m\ \neq\ 0$ .

Otro nombre para la asíntota inclinada es asíntota oblicua.

Suele existir para funciones racionales $y\ =\ mx\ +\ b$ es el cociente que se obtiene al dividir el numerador de la función racional por su denominador.

Lo primero que se debe hacer es igualar el denominador de la función a cero (0).

Para que exista una lo primero que se debe hacer es igualar el denominador de la función a cero (0).

Si se toma como ejemplo la función ya analizada $f(x)\ =\ \frac{x}{2x+2}$ , el denominador se iguala a cero (0) de la siguiente manera: 2x+2=0,

Luego se despeja el valor de x

$2x+2=0\rightarrow x=\frac{-2}{2}=-1$

La asíntota es x = -1, se verifica que tiene la forma x = k, donde k es cualquier número real.

Para graficar es necesario verificar cual es el comportamiento de la función cuando x se acerca al valor de la asíntota, en este caso; x = -1.

Cálculo de asíntota oblicua

Para hallar la asíntota oblicua se dividen los coeficientes de la función.

Pero se deben cumplir dos condiciones:

Que la función no tenga asíntota horizontal.
Que el grado del numerador menos el grado del denominador sea igual a 1 (GN – GD = 1).

Tomando como ejemplo la función $f(x)\ =\ \frac{(x^2\ +\ 1)}{(x\ -\ 1)}$ , se evalúa las condiciones:

cumple la primera condición, que la función no tiene asíntota horizontal. Esto es porque el grado del numerador es mayor al grado del denominador: $x^2>x$ .

Ahora se evalúa la segunda condición, GN – GD = 1.

GN = 2 y GD = 1 → 2 – 1 = 1. También se cumple la segunda condición.

Por lo tanto; se calcula la asíntota oblicua dividiendo los coeficientes de la función:

$\frac{(x^2\ +\ 1)}{(x\ -\ 1)}\rightarrow y=x+1$

Gráficos

Graficar una asíntota en una función matemática implica representar la línea asintótica en el gráfico de la función.

Los pasos varían según el tipo de asíntota que estés tratando de graficar: horizontal, vertical u oblicua.

Aquí están los pasos generales para cada tipo de asíntota.

Gráfico de asíntota horizontal

Determina el valor constante hacia el cual se acerca la función a medida que x tiende a infinito. Esto se obtiene calculando los límites:
Se dibuja una línea horizontal en el valor constante que se encontró en el paso anterior. Esta línea representa la asíntota horizontal en el gráfico.

Gráfico de asíntota vertical

La recta x = k es una asíntota vertical para la gráfica de la función f(x) si y sólo si, por lo menos se cumple:

Si al menos uno de estos límites es infinito (positivo o negativo), dibuja una línea vertical en el valor de x correspondiente. Esta línea representa la asíntota vertical en el gráfico.

Gráfico de asíntota oblicua

Como la asíntota oblicua obtiene la forma y = mx + b, se hallan los valores de (m) y (b).

Ejercicio de ejemplo

Hallar las asíntotas de la función $f(x)\ =\ \frac{3x\ -\ 5}{x\ -\ 2\ }\$ .

Ver solución

Se evalúa si tiene asíntota vertical igualando su denominador a 0 y obteniendo el valor de x.

$x\ -\ 2=0\rightarrow x=2$

La función posee asíntota vertical para x = 2.

Ahora se halla la asíntota horizontal, primero verificando las condiciones dada de los grados del numerado y el denominador de la función.

Como GN = GD, para obtener la asíntota se divide el coeficiente principal del numerador entre el coeficiente principal del denominador.

$y=\frac{3}{1}=3$

Posee asíntota horizontal para y = 3.

Se verifica el límite:

Así, la recta y = 3 es una asíntota horizontal, además:

Por lo tanto, la gráfica tiende a la recta horizontal cuando x → ∞ y también cuando x x → -∞.

No posee asíntota oblicua por que la función tiene asíntota horizontal.

Bibliografía:
E. y Paul. R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía; con la colaboración de Víctor Ibarra Mercado. Editorial Prentice Hall. Quinta edición. México. Stewart, J. 2006. Precálculo: Matemáticas para el Cálculo. 5ta. Edición. Cengage Learning.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2023). Asíntota. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/asintota/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 17 de mayo de 2024.

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