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Matemática

Geometría

Elipse

figura geométrica que se forma al cortar un cono o un cilindro de manera oblicua

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Una elipse es una figura geométrica que se forma al cortar un cono o un cilindro de manera oblicua.

Esencialmente, es una curva cerrada y simétrica que se asemeja a una «forma ovalada» o una circunferencia elongada.

Matemáticamente, se define como el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

De la figura se observa que la elipse es una sección cónica que se produce por la intersección de la superficie de un cono con un plano inclinado al eje de simetría.

Elementos

Los componentes fundamentales que definen una elipse son:

Focos: dos puntos fijos colineales dentro de la elipse, cada uno conocido como foco y sus coordenadas son $F(c,\ o)\$ y $F\prime(-c,\ 0)$ . Usualmente se denotan con la letra F.
Centro: punto medio de la elipse, donde se intersecan sus ejes mayor y menor.
Eje mayor: el eje mayor es el diámetro de mayor medida de una elipse que se extiende desde un lado de la elipse al otro pasando por el centro de la figura. Su longitud equivale a la suma de la distancia de cada foco a un punto cualquiera de la elipse, lo que da pauta a la definición de este lugar geométrico.
Eje menor: el eje menor es el diámetro más corto de una elipse. Pasa por el centro de la figura y es perpendicular al eje mayor.
Lado recto: segmento de recta perpendicular al eje mayor, contiene a un foco (cualquiera de los dos) y sus extremos se localizan sobre la elipse.
Vértices: son los puntos extremos del eje mayor, donde se interseca el eje con la elipse.
Covértices: son los puntos extremos del eje menor. Corresponde a los puntos de intersección de la elipse con el eje menor.
Excentricidad: representa la medida de cuán «aplastada» o «elongada» está la elipse. Se encuentra en el rango de $0\le e<1$ , donde «e» es la excentricidad.

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Propiedades

Entre las propiedades del elipse se destacan:

En geometría, una elipse es una forma bidimensional que se define a lo largo de sus ejes.
Una elipse se crea mediante un plano que corta a un cono en el ángulo de su base.
La elipse está definida por la presencia de dos puntos focales, conocidos también como focos.
Los focos son puntos colineales con el centro de la elipse y que se ubican en el eje mayor de la figura.
La suma de las distancias desde cualquier punto en la elipse hacia los dos focos permanece constante.
Una elipse es simétrica con respecto a sus ejes mayor y menor.
Se denomina directriz a la distancia constante presente en la elipse.
La excentricidad de la elipse, representada por «e», varía en el rango de 0 a 1.
La elipse se caracteriza por la presencia de un eje mayor, un eje menor, y un punto central denominado centro.

Dimensiones y coordenadas fundamentales

Longitud del Semieje mayor: a
Longitud del Semieje menor: b
Semidistancia focal: c
La suma de las distancias de un punto de la elipse $(d_1+d_2)$ es igual al eje mayor $2a \Rightarrow (d_1+d_2)=2a$ .
Punto genérico de la curva elíptica $P(x,y)$ .
Coordenadas de los Vértices $V_1\left(a,0\right)\$ y $\ V_2\left(-a,0\right)\$ .
Coordenadas de los Covértices $B_1\left(0,b\right)\$ y $B_2\left(0,-b\right)\$ .
Coordenadas de los puntos focales $F_1\left(c,0\right)\$ y $\ F_2\left(-c,0\right)$ .

Área

La siguiente fórmula puede ser usada para encontrar el área de una elipse:

$A=\ \pi ab$

Donde:

A: Es el área de la elipse
a: es la longitud del semieje mayor
b: es la longitud del semieje menor
π: aproximadamente 3,1416

Perímetro

El perímetro de una elipse es la longitud total del límite de la curva.

Por los cálculos que involucran hallar el perímetro existe una fórmula que permite hallar una aproximación del perímetro que presenta con menos del 5% de error.

Siempre que la longitud del semieje mayor no sea mucho más grande que la longitud del eje menor.

$P\approx2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

Ecuaciones de elipses con centro en el origen

Existen dos variantes que dependen de la orientación, considerándose la ecuación de la elipse en horizontal o en vertical.

Elipses horizontales con centro en el origen

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Donde:

a > b.
El eje mayor tiene una longitud de 2a.
El eje menor tiene una longitud de 2b.
Los vértices se ubican en los puntos (a, 0) y (-a, 0).
Los covértices se ubican en los puntos (0, b) y (0, -b).
Los focos se ubican en los puntos (c, 0) y (-c, 0), donde: $c^2=a^2-b^2$ .

Elipses verticales con centro en el origen

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Donde:

a > b.
El eje mayor tiene una longitud de 2a.
El eje menor tiene una longitud de 2b.
Los vértices se ubican en los puntos (0, a) y (0, -a).
Los covértices se ubican en los puntos (b, 0) y (-b, 0).
Los focos se ubican en los puntos (0, c) y (0, -c), donde: $c^2=a^2-b^2$ .

Excentricidad de la elipse

La excentricidad de una elipse es una medida que describe cuán «aplastada» o «elongada» está la elipse en relación con una circunferencia perfectamente circular.

Matemáticamente, se define como la razón entre la distancia focal (la distancia entre el centro de la elipse y uno de sus focos) y la longitud del semieje mayor.

La excentricidad, denotada por , se calcula de la siguiente manera:

$e=\frac{c}{a}$

Donde:

c: es la distancia focal.
a: es la longitud del semieje mayor.

Una elipse con una excentricidad cercana a cero se asemeja más a una circunferencia, mientras que una elipse con una excentricidad cercana a uno es más alargada.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Calcular el área de una elipse con un semieje mayor de longitud de 8 centímetros y un semieje menor de longitud de 5 centímetros.

Ver solución

Para calcular el área de la elipse, se utilizará la fórmula $A=\pi ab$ .

Dado que a = 8 centímetros y b = 5 centímetros y π ≈ 3,1416, se puede calcular el área de la siguiente manera:

$A=\pi ab=3,1416\left(8\right)\left(5\right)$

$A=125,664\ {cm}^2$

Por lo tanto, el área de la elipse es de 125,664 cm².

Ejercicio #2

Para el ejemplo anterior calcular el perímetro de la elipse.

Ver solución

Para este caso se emplea la fórmula:

$P\approx2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\Rightarrow P\approx2\left(3,1416\right)\sqrt{\frac{8^2+5^2}{2}}$

$P\approx6,28\sqrt{\frac{64+25}{2}}\ \Rightarrow P\approx6,28\sqrt{44,5}$

$P\approx41,89\ cm$

Aproximadamente el perímetro de la elipse es de 41,89 cm.

Bibliografía:
Chica, J. y Quintana, H. (2021). Tratado de las Secciones cónicas. Volumen II (1.ª ed.). Editorial ITM Raichman, S. y Totter, E. (2016). Geometría Analítica para Ciencias e Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2024). Elipse. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/elipse/). Última edición: abril 2024. Consultado el 17 de mayo de 2024.

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