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Dodecágono

Figura plana que tiene exactamente 12 lados, 12 vértices y 12 ángulos.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Un dodecágono se define como una figura plana que tiene exactamente 12 lados, 12 vértices y 12 ángulos. Se llama de esta manera, por su significado que del griego «dodekagonos».

Sus componentes léxicos son «dodeka» que significa «doce», y «gonos» que significa «ángulo», «figura geométrica de doce ángulos».

Gráfico de ejemplo dodecágono

En la gráfica se observa un dodecágono, como una figura cerrada con 12 segmentos rectos que se conectan entre sí.

Cada uno de estos segmentos es un lado del dodecágono, y donde dos lados se encuentran es el vértice, formando un ángulo.

Elementos

Lados: es cada uno de los segmentos de recta que encierran el polígono. Tiene exactamente 12 lados y se conectan dos a dos en un vértice adyacente.
Vértices: es el punto de intersección de dos lados contiguos, en total tiene 12 vértices.
Ángulos internos: son los ángulos que se forman cuando se unen dos lados contiguos en un vértice. En un dodecágono, hay 12 vértices y, por lo tanto, 12 ángulos internos.
Ángulos externos: se forman cuando se extienden o prolongan los lados del dodecágono. En cada vértice, hay un ángulo externo que está fuera del polígono.
Diagonales: Las diagonales son segmentos que conectan vértices no adyacentes. Tiene en total 54 diagonales, según la fórmula: $D=\frac{n\ast(n-3)}{2}$ . Donde «n» representa el número de lados $(D=\frac{12\ast(12-3)}{2}=\frac{12\ast9}{2}=\frac{108}{2}=54)$ .
Apotema: En un dodecágono regular, la apotema es la distancia desde el centro hasta el punto medio de un lado.

Características

El dodecágono tiene características que permiten diferenciarlo de otros polígonos.

Su principal característica es que tiene 12 lados, 12 vértices y 12 ángulos.
Cada ángulo interno tiene una amplitud de 150°.
La medida de cada ángulo exterior es igual a 30°.
La suma del ángulo interior con su ángulo exterior mide 180° (150° + 30° = 180°)
La suma de los ángulos interno es de 1800°. Dado que: Suma de Ð internos = (n – 2) *180° = (12 – 2) * 180° = 10 * 180° = 1800°.
Los ángulos externos suman en total 360°.
De cada vértice del dodecágono parten o concurren 9 diagonales, como se muestra en la figura.
Las diagonales que parten de un vértice cualquiera del dodecágono lo dividen en 10 triángulos (n – 2 = 12 – 2 = 10). Esto se observa en la figura anterior.

El cuadro muestra un resumen de las características descritas:

Características	Medidas
Cada ángulo interior	150°
Cada ángulo exterior	30°
Número de diagonales	54
Número de triángulos internos	10
Suma de los ángulos interiores	1800°
Suma de los ángulos externos	360°

Tipos y clasificación

Los dodecágonos pueden ser de diferentes tipos, esto depende de la medida de sus lados, ángulos y otras propiedades similares.

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Dodecágono regular

El dodecágono regular tiene sus 12 lados de igual longitud al igual que los ángulos internos, todos tienen la misma amplitud.

Cada ángulo interno mide 150°.
Los ángulos externos son congruentes y cada uno mide 30°.
Los 12 vértices equidistan del centro del dodecágono.

Apotema de un decágono regular

En un decágono regular su apotema se puede hallar como se indica a continuación, considerando los datos proporcionados en la figura siguiente.

La intersección entre la apotema y el lado del polígono forma un ángulo recto, por lo que es posible expresar la apotema como una función de la longitud del lado de la figura.

«a» es la longitud de un lado.
«r» es el radio de la circunferencia circunscrita, en otras palabras, longitud del centro a un vértice.
«Ap» es la longitud de la apotema.
«α» es el ángulo central, corresponde al ángulo entre las dos líneas que unen el centro del dodecágono con dos vértices consecutivos.

$A_p=\frac{a}{2\tan{\left(15\right)}}\ \Rightarrow \ \ A_p=\frac{a}{2(0,26795)}=\frac{a}{(0,5359)}$

También se puede emplear la fórmula:

$A_p=(1,866)\ast a$

Dodecágono irregular

Se considera que un dodecágono es irregular cuando al menos uno de sus lados tiene diferente longitud.

Debido a esta característica, sus ángulos internos y externos también son de diferente amplitud.

Aunque la suma de los ángulos internos sigue siendo 1800° y la de los ángulos externos es de 360°.

Dodecágono convexo

Este tipo de polígono tiene los doce vértices apuntando hacia afuera.
Ningún ángulo interior de un dodecágono convexo mide más de 180°, y todas las diagonales están dentro de la figura cerrada.
Además, un dodecágono convexo puede ser tanto regular como irregular.

Dodecágono cóncavo

El dodecágono cóncavo tiene al menos un vértice apuntando hacia adentro.
Posee por lo menos un ángulo interior mayor a 180°.
Al menos una diagonal se encuentra fuera de la figura cerrada.
Todos los decágonos cóncavos son irregulares.

Perímetro y área

Perímetro del dodecágono

El perímetro de un dodecágono, como en cualquier polígono, resulta de sumar la longitud de cada uno de sus lados.

$P=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9+a_{10}+a_{11}+a_{12}$

Donde $a_n$ es la medida de cada uno de los lados.

Cuando se trata de un dodecágono regular, por tener todos sus lados congruentes, la fórmula se simplifica de la forma siguiente:

$P=12\ast a$

Área de un dodecágono

Cuando se trata de un dodecágono regular es posible calcular su área utilizando la fórmula:

$A=\frac{\left(n\right)\left(a\right)\left(A_p\right)}{2}$

Donde:

A: es el área de la figura geométrica
n: es el número de lados
a: la longitud de uno de sus lados
A_p_:la apotema

Se puede simplificar la fórmula y hallar el área en función del perímetro conociendo que $P=12\ast a$ , quedando:

$A=\frac{(P)\left(A_p\right)}{2}$

También dada la fórmula de la apotema $A_p=\frac{a}{0,5359}$ y conociendo la cantidad de lados, se puede sustituir en la fórmula del área y simplificar:

$A=\frac{\left(12\right)\left(a\right)\left(a\right)}{2\left(0,5359\right)}$

$A=11,196(a^2)$

Para la ecuación anterior, se tiene únicamente la variable «a» que corresponde a la longitud de cada lado.

Ejercicio de ejemplo

Si cada lado de un dodecágono mide 5 centímetros, encuentre:

Área del dodecágono.
Apotema
Perímetro

Ver solución

Punto 1)

Por conocerse la longitud del lado del dodecágono, se puede usar la ecuación:

$A=11,196(a^2)$

Sustituyendo los valores conocidos

$A=11,196\left(5^2\right)=11,196\left(25\right)$

$A=279,9\ {cm}^2$

Punto 2)

La apotema se halla con la fórmula:

$A_p=\left(1,866\right)\ast a=\left(1,866\right)\ast5$

$A_p=9,33\ cm$

Punto 3)

El Perímetro es igual a:

$P=12\ast a=12\ast\left(5\right)$

$P=60\ cm$

Bibliografía:
Bruño, G.M. (s/f ). Elementos de la Geometría. Editorial Bouret. Ministerio de Educación del Ecuador, (2016). Matemática 8° Grado. Texto del Estudiante. Quito, Ecuador. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2023). Dodecágono. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/dodecagono/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 17 de mayo de 2024.

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