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Haude Medina (2023). Incentro. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/incentro/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 26 de mayo de 2024.
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Contenidos

Incentro

Punto donde las tres bisectrices internas del triángulo coinciden.

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Tabla de contenidos:

Definición

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Se define como el punto donde las tres bisectrices internas del triángulo coinciden. Generalmente se denota con la letra «I».

El incentro corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, tangente a sus tres lados, por lo tanto, también se le conoce como el centro del círculo de un triángulo.

En la gráfica a continuación para el ΔABC el «Incentro» es el punto «I».

Es uno de los puntos notables de un triángulo junto con el ortocentro, el circuncentro y el baricentro

El estudio del incentro tiene muchas aplicaciones en geometría y en otros campos de la matemática, como la geometría analítica, la trigonometría y la geometría euclidiana.

Propiedades

Algunas de las propiedades más importantes del incentro se describen a continuación y se representan gráficamente en la figura de abajo.

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  • Sin importar el tipo de triángulo, el incentro siempre se ubica dentro del polígono de tres lados.
  • Es el punto de concurrencia de las bisectrices del triángulo.
  • La circunferencia dentro de triángulo es tangente a todos los bordes del triángulo (corta a cada lado en un solo punto). Por lo tanto, ID, IE e IF son congruentes al radio de círculo y reciben el nombre de inradios (ID = IE = IF = r).
  • Siendo «I»el incentro del triángulo, entonces, ∠BAI = ∠CAI, ∠BCI = ∠ACI y ∠ABI = ∠
  • El incentro se alinea con el resto de los puntos notables en la recta de Euler únicamente en el triángulo isósceles. En este tipo de triángulos, la recta de Euler coincide con en el eje de simetría.

Cálculo y fórmulas relacionadas con el Incentro

Coordenadas del Incentro de forma algebraica

Para un triángulo con vértices ABC, del que se conocen las coordenadas (X1, Y1), (X2, Y2) Y (X3, Y3), y donde a, b y c son las longitudes de sus lados, entonces el incentro del triángulo se puede calcular usando la fórmula:

Para un triángulo con vértices ABC, del que se conocen las coordenadas (X1, Y1), (X2, Y2) Y (X3, Y3), y donde a, b y c son las longitudes de sus lados, entonces el incentro del triángulo se puede calcular usando la fórmula:

X=\left(\frac{aX_1+bX_2+cX_3}{a+b+c}\right)

Y=\left(\frac{aY_1+bY_2+cY_3}{a+b+c}\right)

Radio de la circunferencia inscrita

Para un triángulo de lados a, b, c y semiperímetro (s). El radio de la circunferencia inscrita (llamado también inradio) se halla mediante la fórmula:

r=\sqrt{\frac{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}

Donde el semiperímetro es: s=\frac{a+b+c}{2}

Relación Inradio con el área

El inradio está relacionado con el área del triángulo al que está inscrita su circunferencia mediante la relación:

r=\frac{area}{s}

De tal manera que el área del triángulo es:

A = s * r

Incentro de la fórmula del ángulo de un triángulo

Usando la propiedad de la suma de ángulos de un triángulo, se puede hallar la amplitud del incentro del ángulo de un triángulo.

\angle AIC\ =\ 180 - \frac{\angle A + \angle C}{2}

Donde I es el incentro del triángulo dado.

Ejercicios de ejemplo

Ejercicio #1

Para un triángulo de vértices: A(5,-3); B(4,4); C(9,1). Hallar las coordenadas (X,Y) del Incentro (I).

Ver solución

Primero se deben hallar la medida los lados del triángulo empleando la fórmula de la distancia d=\sqrt{{(X_2-X_1)}^2+{(Y_2-Y_1)}^2}

BC=a= \sqrt{{(9-4)}^2+{(1-4)}^2}=\sqrt{{(5)}^2+{(-3)}^2}=\sqrt{25+9}=5.83

AC=b= \sqrt{{(9-5)}^2+{(1-(-3))}^2}=\sqrt{{(4)}^2+{(4)}^2}=\sqrt{16+16}=5.66

AB=c= \sqrt{{(4-5)}^2+{(4-(-3))}^2}=\sqrt{{(-1)}^2+{(7)}^2}=\sqrt{1+49}=7.07

Conocidas las coordenadas se utiliza la fórmula del Incentro:

X=\left(\frac{aX_1+bX_2+cX_3}{a+b+c}\right)=\left(\frac{5.83\left(5\right)+5.66\left(4\right)+7.07\left(9\right)}{5.83+5.66+7.07}\right)

X=\frac{115,42}{18,56}=6.22

Y=\left(\frac{aY_1+bY_2+cY_3}{a+b+c}\right)=\left(\frac{5.83\left(-3\right)+5.66\left(4\right)+7.07\left(1\right)}{5.83+5.66+7.07}\right)

Y = 0.66

Las coordenadas del Incentro son I(6.22, 0.66)

Ejercicio #2

Un triángulo tiene un área de 25 cm² y su perímetro es igual a 28 cm. ¿Cuál es el radio del círculo inscrito en el triángulo?

Ver solución

Para este caso se puede aplicar la fórmula que relaciona el inradio con el área del triángulo:

r=\frac{area}{s}

El semiperímetro es igual a 14 cm (es la mitad del perímetro)

Entonces,

r={\frac{25\ cm}{14\ cm}}^2=1,79\ cm

El radio del círculo inscrito es 1.79 cm.

Bibliografía:
  • Chen, E. (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. The Mathematical Association of America..
  • Posamentier, A. and Lehmann, I. (2012) The secrets of triangles. Prometheus Books.

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Acerca del autor:

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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