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Geometría

Apotema

Distancia desde el centro de una figura geométrica hasta el punto medio de uno de sus lados.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

El término «apotema» se utiliza comúnmente en geometría para referirse a la distancia desde el centro de una figura geométrica hasta el punto medio de uno de sus lados.

Por lo general, se hace referencia a la apotema en figuras específicas, como lo son los polígonos regulares, donde todos los lados y ángulos son iguales.

Por lo que, la apotema no existe en polígonos irregulares, que son figuras geométricas con al menos un lado o ángulo de medida diferente (no congruentes).

Imagen de la apotema.

La apotema también es definida como «el segmento de menor distancia entre el centro del polígono y cualquiera de sus lados y es siempre perpendicular a dicho lado».

Importancia

La apotema es un segmento y a su vez una medida de gran utilidad en geometría.

La longitud de la apotema se utiliza normalmente para calcular el área o perímetro de polígonos regulares.
Es una herramienta valiosa en la geometría que ayuda a entender y calcular propiedades importantes de las figuras geométricas.
Para un círculo, es la distancia desde su centro hasta el punto medio de una cuerda.
En las pirámides regulares se puede trazar la «Apotema de la base (Ap_b)» que corresponde a la distancia de un lado de la base hasta su centro.
La Apotema de la pirámide (Ap) es un segmento de recta perpendicular a uno de los lados del polígono base trazado hasta el vértice de la pirámide.
Estos dos segmentos se relacionan con la atura de la pirámide regular mediante el Teorema de Pitágoras.

Cálculo en un polígono regular

El cálculo de la apotema en polígonos regulares depende del tipo de polígono y de la información que se tenga del mismo.

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Por esa razón, hay diferentes fórmulas que permiten calcular la apotema. A continuación, se especifican cada una de ellas.

A. Fórmula general de la apotema de un polígono regular

Para un polígono regular de lados y conocido la longitud del lado se emplea la siguiente fórmula.

$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}$

Donde:

$Ap$ es la apotema
$l$ es la medida del lado del polígono regular
$a$ es el ángulo central del polígono regular. La amplitud del ángulo varía según el tipo de polígono que se considere.

Esta ecuación se deduce aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma entre la apotema, el radio y el lado del polígono, como se muestra en la figura.

El ángulo central de cualquier polígono regular se halla dividiendo 360° entre el número de lados n del polígono:

$\alpha=360^\circ n$

Por ejemplo, para un octágono (polígono de 8 lados) el valor del ángulo central «α» es igual a 45°:

$\alpha=360^\circ 8=45^\circ$

Quedando la fórmula de la apotema como:

Es necesario recordar, que, según el número de lados del polígono, sea un pentágono, hexágono, octágono, entre otro, la amplitud del ángulo central varía, por tanto, el valor de la tangente es diferente.

B. Fórmula de la apotema conocido el área y perímetro del polígono

La fórmula que relaciona el perímetro, área y la apotema de un polígono regular es la siguiente:

Donde:

$A$ es el área del polígono
$P$ es el perímetro del polígono
$Ap$ es la apotema del polígono

En el caso de no conocer el perímetro, si no la longitud de uno de los lados del polígono, este se calcula multiplicando el número de lados del polígono por la longitud del lado «l»

$P=n\ast l$

C. Fórmula de la apotema conocidos el área y perímetro del polígono

La fórmula de la apotema conocido el radio es la siguiente:

$Ap= r\ast cos (\frac{180^\circ}{n})$

Donde:

$Ap$ es la apotema del polígono
$n$ es el número de lados del polígono regular
$r$ es el radio

Se debe recordar que el radio de un polígono regular es la distancia desde el centro a cualquier vértice. La longitud será la mismo para cualquier vértice.

Apotema y los polígonos regulares

Según el número de lados del polígono regular, existen ciertas particularidades de la apotema, debido a que la fórmula general mencionada anteriormente no se puede utilizar.

Apotema en un triángulo

El único triángulo regular es el triángulo equilátero, para este tipo de polígono la apotema se halla de la forma siguiente:

Apotema en un cuadrado

Para un cuadrado es más sencillo calcular su apotema. Esto se debe a que su valor coincide con la mitad de la longitud de uno de sus lados «l».

Apotema en polígonos de 5 o más lados

En la tabla siguiente se especifica la fórmula para calcular la apotema de un polígono de 5 o más lados, considerando la ecuación: $Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}$

Polígono	Fórmula
Pentágono (5 lados, ángulo central = 72°)	$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{72}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(36\right)}}$ $Ap\approx\frac{l}{1,45}$
Hexágono (6 lados, ángulo central = 60°)	$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{60}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(30\right)}}$ $Ap\approx\frac{l}{1,15}$
Heptágono (7 lados, ángulo central ≈ 51,4°)	$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{51,4}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(25,7\right)}}$ $Ap\approx\frac{l}{0,83}$
Octágono (8 lados, ángulo central = 45°)	$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{45}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(22,5\right)}}$ $Ap\approx\frac{l}{0,83}$
Eneágono (9 lados, ángulo central = 40°)	$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{40}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(20\right)}}$ $Ap\approx\frac{l}{0,73}$
Decágono (10 lados, ángulo central = 36°)	$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{36}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(18\right)}}$ $Ap\approx\frac{l}{0,65}$

Polígono

Fórmula

Pentágono

(5 lados, ángulo central = 72°)

$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{72}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(36\right)}}$

$Ap\approx\frac{l}{1,45}$

Hexágono

(6 lados, ángulo central = 60°)

$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{60}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(30\right)}}$

$Ap\approx\frac{l}{1,15}$

Heptágono

(7 lados, ángulo central ≈ 51,4°)

$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{51,4}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(25,7\right)}}$

$Ap\approx\frac{l}{0,83}$

Octágono

(8 lados, ángulo central = 45°)

$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{45}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(22,5\right)}}$

$Ap\approx\frac{l}{0,83}$

Eneágono

(9 lados, ángulo central = 40°)

$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{40}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(20\right)}}$

$Ap\approx\frac{l}{0,73}$

Decágono

(10 lados, ángulo central = 36°)

$Ap=\frac{l}{2\tan{\left(\frac{36}{2}\right)}}=\frac{l}{2\tan{\left(18\right)}}$

$Ap\approx\frac{l}{0,65}$

Ejercicios de ejemplo

Ejercicio #1

Para un pentágono regular cuyos lados tienen longitud de 8 centímetros. ¿Cuál es la medida de su apotema?

Ver solución

Conocida la longitud del lado del pentágono se pude emplear la fórmula:

$Ap\approx\frac{l}{1,45}$

Sustituyendo la medida del lado se obtiene:

$Ap\approx\frac{8}{1,45}\approx5,52\ cm$

La apotema del pentágono es de aproximadamente 5,52 centímetros.

#Ejercicio #2

El área de hexágono es de 4,2 metros cuadrados y la pedida de uno de sus lados es de 0,2 metros. Hallar la apotema del hexágono.

Ver solución

Para el caso particular conocida la medida el área y el lado del hexágono se utiliza la fórmula:

$Ap=\frac{2A}{P}$

El perímetro es igual a: $P=n\ast l\Rightarrow P=6\ast0,2=1,2\ metros$

$Ap=\frac{2(4,2)}{1,2}=\frac{8,4}{1,2}=7\ metros$

La apotema del hexágono es de 7 metros.

Bibliografía:
González Pineda, C. E., & García, S. M. (2012). El área del paralelogramo y polígonos inscritos. Scientia Et Technica, 2(51), 161–165. Barrantes Campos, H. (2006). Geometrías. Colombia: Editorial Tecnológica de Costa Rica.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2024). Apotema. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/apotema/). Última edición: abril 2024. Consultado el 17 de mayo de 2024.

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