Rango

Definición

En matemática la palabra “Rango” adopta diferentes definiciones según el área de aplicación estudiada.

Así, por ejemplo, en álgebra se puede tener el “rango de una función” o el “rango de una matriz”.

El rango también se puede referir en el campo de la estadística como la diferencia entre los valores más altos y más bajos en un conjunto de datos de una población o muestra.

Rango de una función

El rango de una función al conjunto de resultados posibles que esta toma a partir de unos valores específicos (dominio).

De esta manera, el rango de la función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente (los valores resultantes de “y”), luego de sustituir todos los posibles valores de “x” (dominio) en la función.

Dominio → Función → Rango

Si existe una función f: A →B tal que cada elemento de A se asigna a elementos en B, entonces A es el dominio y B es el rango.

El Rango de f(x) son todos los valores de “y”, donde hay un número “x” con    y = f(x).

Por ejemplo, para la función y = 2x -1 se tiene el conjunto dominio {1, 2, 3, 4} el rango es {1, 3, 5, 7}.

Cálculo del rango de una función

Para encontrar el rango de una función es necesario considera lo siguiente:

• El rango de una función lineal está dentro del conjunto de los números reales.
• El rango de una función cuadrática y = a(xh)² + k es (y ≥ k), si a > 0 y (y ≤ k), si a<0.
• El rango de una función de raíz cuadrada es y ≥ 0, para → x > 0.
• El rango de una función exponencial es y > 0.
• El rango de la función logarítmica es el conjunto de los números reales.

Para encontrar el rango de una función, estos son los pasos básicos:

• Escribir la función como y = f(x).
• Sustituir cada valor del dominio en la función para obtener los valores de “y”
• Si no se indica el dominio, se debe conocer para que valores está restringido “y”.
• Ordenar y escribir el rango.
• Si se desea graficar la función con los conjuntos del dominio y el rango, se ordenan los pares ordenados (x,y) y se grafica.

Rango de una matriz

Se define el rango de una matriz como el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes.

Eso significa que el rango de una matriz siempre será menor o igual al número de sus filas o columnas. Se denota como, Ran(A);  Rg(A); Rango(A).

Las filas o las columnas de una matriz se dice que son independientes, cuando ninguna de ellas se puede escribir como combinación lineal de las otras.

El valor máximo del rango que puede tener una matriz es el menor de los números correspondientes al número de filas y columnas,

Si una matriz tiene dimensión 3×4, el valor máximo que puede alcanzar el rango de dicha matriz es 3, pues este es el menor valor entre filas y columnas (3,4).

Sin embargo, la matriz puede ser de rango 1; 2 ó 3, cómo máximo.

Cálculo del rango de una matriz

El rango de una matriz se puede hallar por varios métodos, por el método de determinantes o por el método de Gauss.

Por ejemplo; se tiene la matriz , la matriz A(3×4), el rango es 2 debido a que la fila número 3 es dependiente de la fila 1 (una es el doble menos 1 de la otra), por lo tanto, la matriz A tiene sólo 2 filas independientes.

Rango de matriz por determinantes

La regla principal para determinar el rango de una matriz es buscar la mayor submatriz y calcular su determinante.

Si el determinante es distinto de 0, el rango será el mismo número de filas o columnas que tenga la submatriz.

El método es recomendable para matrices se 1×1, 2×2 o 3×3. Para comprender el método se realizará mediante un ejemplo.

Se tiene la matriz

Paso 1: se selecciona una submatriz cuadrada en el caso que la matriz dada no sea cuadrada. Para el ejemplo, la matriz su dimensión es 3×3 (cuadrada)

Paso 2. Se calcula la determinante de la matriz.

Como el determinante de la submatriz de orden 3 es 0, se descarta que el rango de la matriz sea 3.

Paso 3. Ahora se debe probar con otro determinante. Se selecciona una submatriz de orden 2. Se puede tomar de la matriz los siguientes valores:

Se halla el determinante de la submatriz:

Como el determinante de la submatriz es diferente de 0, se concluye que la matriz es de Rango 2, Rg(A) = 2.

En el caso, que el determinante de la submatriz sea 0, se puede probar con otra submatriz de orden 2, por ejemplo:

Si nuevamente es igual a 0, se continúa buscando hasta encontrar una diferente de cero o por el contrario concluir que el rango es 1.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Hallar el Rango de la función F(x) = -2x + 3. El dominio es {-1, -2, 0, 1, 2)

Ejercicio #2

Hallar el rango de la matriz A