Enciclopedia Iberoamericana
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Teorema del coseno
Generalización del teorema de Pitágoras que se utiliza en los triángulos rectángulos.
Definición
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras que se utiliza en los triángulos rectángulos.
La ley del coseno, como también es conocida, establece que si en un triángulo cualquiera se conoce la longitud de dos lados y el ángulo que se forma entre ellos, entonces es posible hallar la longitud del tercer lado.
El enunciado del teorema del coseno establece que:
“El cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la diferencia entre la suma de los cuadrados de los otros dos lados y el doble del producto de los otros lados y el coseno del ángulo comprendido entre ellos”
Sean a, b y c las longitudes de los tres lados de un triángulo y sean α, β, δ, los ángulos del triángulo ABC, las fórmulas del teorema del coseno son:
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Resolución
El teorema del coseno encuentra su utilidad para poder hallar algún elemento de un triángulo cualquiera usando trigonometría.
Es así como el teorema se puede aplicar en las siguientes situaciones:
Publicidad, continua debajo- Hallar la longitud de un lado cuando se conoce la medida de dos lados y su ángulo intermedio:
- Encontrar “a” cuando se conoce “b”, “c” y ∠α → α2 = b2 + c2 – 2bc(cos(α))
- Encontrar “b” cuando se conoce “a”, “c” y ∠β → b2 = a2 + c2 – 2ac(cos(β))
- Encontrar “c” cuando se conoce “a”, “b” y ∠δ→ c2 = a2 + c2 – 2ab(cos(δ))
- Calcular la amplitud de alguno de los ángulos cuando se tiene las medidas de los tres lados del triángulo.
Para aplicar las fórmulas indicadas en cualquier triángulo es necesario:
- Identificar los datos que se proporcionan, ya sea las longitudes de los lados o la amplitud de los ángulos.
- Identificar los elementos a calcular y verificar que se tenga toda la información necesaria.
- Aplicar la fórmula que relacione la incógnita con los datos proporcionados.
- Expresar los resultados en las unidades adecuadas.
Por ejemplo, para el ΔABC, se tiene la medida de dos de sus lados y un ángulo, como se muestra en la figura y se necesita hallar el tercer lado del triángulo.
Paso 1: se comienza identificando la información suministrada, a = 6 cm, b = 7 cm y ∠δ = 40°.
Paso 2: se requiere hallar la longitud del lado “c”.
Paso 3: Según los datos obtenidos del triángulo se puede aplicar la fórmula:
c2 = a2 + b2 – 2ab(cos(δ))
Sustituyendo los valores: → c2 = 62 + 72 – 2(6)(7)(cos(40°)) = 36 + 49 – (84)(0,77)
c2 = 85 – 64,68
Paso 4: la longitud del lado “c” es de aproximadamente 4,51 cm.
Ejercicio de ejemplo
Se tiene un triángulo cuyos lados miden a = 5 cm, b = 7 cm, c = 4 cm. Calcular la amplitud de los ángulos internos del triángulo.
Ver solución
Los datos proporcionados en el ejemplo es la longitud de los tres lados del triángulo, por lo que se puede aplicar las fórmulas para hallar la medida de los ángulos.
Primero se hallará la amplitud del ∠α
α = cos-1(0,714) ≈ 44,43°
Ahora se calcular la amplitud de ∠δ
δ = cos-1(0,839) ≈ 34,04°
Por último, para hallar la medida del ∠β, se puede hacer por la suma de los ángulos internos de un triángulo:
α + β + δ = 180° → β = 180° – (α + δ) = 180° – (44,43° + 34,04°) = 180° – 78,39°
β ≈ 101,61°
La medida de los ángulos del triángulo es: α = 44,34°, β = 101,61°, δ = 34,04°
| Bibliografía: |
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Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)
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