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Raíz cuadrada

Operación matemática contraria a la potencia de 2 de un número.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Se conoce como raíz cuadrada a la operación matemática contraria a la potencia de 2 de un número, es decir; de elevar un número al cuadrado.

La raíz cuadrada, consiste en ubicar un número que multiplicado por sí mismo (elevado al cuadrado), dé como resultado el número original. Así se tiene, que sí $a^2=b\$ , entonces $\sqrt[2]{b}=a$ .

Por ejemplo, si 6 es la raíz cuadrada de 36, este resulta de multiplicar 6 x 6 = 36. Expresado en forma de potencia y según la definición anterior,

$6^2=36\ ,\ entonces\ \sqrt[2]{36}=6$

Una vez conocido cómo se origina la raíz cuadrada de un número, se pueden calcular de manera rápida raíces cuadradas exactas para números pequeños, por ejemplo; la raíz cuadrada de 121 es igual a 11, pues, es el número que multiplicado por sí mismo da como resultado 121 (11² = 11 x 11 = 121).

Elementos

Los elementos de la raíz cuadrada son los siguientes:

Partes de la raíz

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Radical: el símbolo que indica la operación de radicación.
Índice: es el número al que se eleva la raíz, o el tipo de raíz que se busca. Para el caso de la raíz cuadrada el índice es ². SI el índice no está escrito se entiende que es raíz cuadrada.
Radicando: también llamado cantidad subradical. Es el número que está dentro del radical, al cual se le va a calcular la raíz.
Raíz: es la solución de la raíz cuadrada.

Características

Algunas características de la raíz cuadrada son las siguientes:

La raíz cuadrada de un número entero puede tener dos soluciones dentro del conjunto de los números reales, una positiva y otra negativa, $\sqrt b=\ \pm\ a$ . Esto se debe a que la potencia al cuadrado de un número negativo, da como resultado un número positivo.
A manera de ejemplo, la $\sqrt{169}=\pm13$ , porque tanto +13 como -13 elevado al cuadrado es igual a 169. Se expresa de esta forma: 13² = 169 y (-13)² = 169. Sin embargo, en la mayoría de los casos, solo el valor positivo se escribe como solución de la raíz cuadrada de un número.
La raíz cuadrada de un número negativo se ubica dentro de los números complejos $\sqrt{-b}\notin\ \mathbb{R}$ . Entonces, $\sqrt{-169}$ no tiene solución real.
La raíz cuadrada de 1 es igual a 1, $\sqrt1=1$ . Esto se debe a que 1² = 1.
La raíz cuadrada de 0 es 0. $\sqrt0=0$ .

¿Cómo se calcula?

Para calcular la raíz cuadrada de un número se pueden utilizando varios métodos, dos de ellos y, que resultan los más conocidos, son el método por factorización prima y el método por división larga.

Raíz cuadrada por factorización prima

El proceso consiste en expresar en forma de producto de factores primos el radicando, para luego extraer todos los cuadrados perfectos de la raíz.

Para explicar el proceso se hará mediante un ejemplo. Hallar $\sqrt{225}$ .

Paso 1

Descomponer el radicando 225 en factores primos:

	Factor
225	3	225 ÷ 3 = 75
75	3	75 ÷ 3 = 25
25	5	25 ÷ 5 = 5
5	5	5 ÷ 5 = 1
1			El cociente es 1, ya no se puede continuar descomponiendo.

Según la factorización: 225 = 3²x 5²

Paso 2

Expresar en forma de producto primos el radicando. Es recomendable formar pares de factores similares para luego extraer de la raíz.

$\sqrt{3^2\ast\ 5^2}$

Paso 3

Las potencias se separan en radicaciones.

$\sqrt{3^2\ }\ast\ \sqrt{\ 5^2}$

Paso 4

Como ambos radicandos son cuadrados perfectos, se puede aplicar la propiedad de los radicales $\sqrt[n]{a^n}=a^{n/n}=a$ .

$\sqrt{3^2}=3^\frac{2}{2}=3\$ y $\sqrt{\ 5^2}=5^\frac{2}{2}=5$

Por tanto el resultado de $\sqrt{225}=3\ast5=15$ .

Este método resulta muy útil para raíces cuadradas perfectas o exactas. Cuando no son exactas, por lo general, se obtiene un número simplificado, pero aún expresado en forma de radical.

Raíz cuadrada por división larga

Este método es comúnmente utilizado para hallar la raíz cuadrada de números grandes por pasos más fáciles. De igual manera, se puede utilizar para hallar raíces cuadradas exactas.

Se explica a continuación el proceso a través de un ejemplo. Hallar $\sqrt{1825}$ .

Paso 1

Separar el radicando en grupo de dos, comenzando de derecha a izquierda.

Paso 2

Se comienza a dividir por el grupo de números que está más a la izquierda, buscando un número que al cuadrado sea igual o menor, lo más próximo al grupo seleccionado. En este caso al 18, este número es 4 (4×4=16). Se escribe el 4 como divisor.

Paso 3

Se resta el cuadrado del divisor al grupo seleccionado para hallar el nuevo dividendo.

Paso 3 de la raíz cuadrada por división larga

Paso 4

Se baja el siguiente par de números del radicando y se duplica el número del divisor.

Paso 4 de la raíz cuadrada por división larga.

Paso 5

Del par de números que se bajó se toma el primero y se junta al residuo que se tenía, para nuevamente buscar un número que multiplicado por el divisor (8) sea igual o menor, lo más próximo a 22. Este número es el 2 que se coloca en el divisor.

Paso 5 de la raíz cuadrada por divisón larga

Paso 6

Multiplicar el dígito obtenido por el divisor del segundo renglón (82). El resultado se resta al dividendo (82 * 2 = 164).

Paso 6 de la raíz cuadrada por división larga.

De tener más parejas de números en el radicando, se repite el procedimiento desde el paso 4. Entonces, se puede decir que $\sqrt{1825}$ es aproximadamente 42 y su residuo 61.

Si se desea comprobar que el resultado es correcto se eleva al cuadrado el resultado y se le suma el residuo. ((42)²) + 61 = 1764 + 61 = 1825.

Ejemplos

Algunos ejemplos de raíz cuadrada son:

$\sqrt{700}$	$\sqrt{32}$	$\sqrt{25}$	$\sqrt{17}$
$\sqrt{9}$	$\sqrt{125}$	$\sqrt{16}$	$\sqrt{72}$
$\sqrt{121}$	$\sqrt{144}$	$\sqrt{14}$	$\sqrt{12}$
$\sqrt{81}$	$\sqrt{23}$	$\sqrt{890}$	$\sqrt{1}$

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: hallar $\sqrt{720}$

Ver solución

	Factor
720	2	720 ÷ 2 = 360
360	2	360 ÷ 2 = 180
180	2	180 ÷ 2 = 90
90	2	90 ÷ 2 = 45
45	3	45 ÷ 3 = 15
15	3	15 ÷ 3 = 5
5	5	5 ÷ 5 = 1
1			El cociente es 1, ya no se puede continuar descomponiendo.

Entonces se tiene que 720 = 2⁴ x 3² x 5 por lo tanto:

$\sqrt{720}=\sqrt{2^2\ast\ 2^2\ast\ 3^2\ast5}$

$=\sqrt{2^2}\ast\sqrt{2^2}\ast\ \sqrt{3^2}\ast\ \sqrt5$

$=2\ast2\ast3\ast\sqrt5=12\sqrt5$

Entonces se tiene que $\sqrt{720}= 12\sqrt5$ .

Ejercicio #2

Problema a resolver: hallar por el método de división $\sqrt{125456}$

Ver solución

Solución del ejercicio 2 de ejemplo.

El resultado es 354 con residuo de 140.

Comprobando el resultado: 354² + 140 = 125316 + 140 = 125456.

Bibliografía:
Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall. Matemáticas para 1.er curso de ESO. (2016). Santillana. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016b). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Raíz cuadrada. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/raiz-cuadrada/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 18 de junio de 2024.

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