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Factorización

Método que consiste en descomponer una expresión algebraica en forma de producto.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

La factorización es un método que consiste en descomponer una expresión algebraica en forma de producto, con la finalidad de simplificarla en términos llamados factores para llegar a su mínima expresión.

Se debe recordar que un factor, es cada uno de los números o términos que se multiplican para obtener un producto.

Una manera sencilla de comprender este proceso es el siguiente: considere que se desea factorizar el número 40, el método consiste, en encontrar los números que multiplicados den como resultado 40.

Factorización

Los números pueden ser 8 * 5, 10 * 4, 20 * 2. Los números seleccionados que multiplicados dan como resultado 40, se conocen como factores y el proceso que se realizó para hallar los factores, se conoce como factorización. Es decir, se descompuso el número 40 en forma del producto de sus factores.

Se puede tener un monomio de la forma 16x³ que se desea factorizar, encontrar sus factores en forma de producto. Los factores de 16 pueden ser 4 *4 o en números primos 2 * 2 * 2 * 2 y los factores de x³ sería x * x * x.

De esta manera se tiene que: 16x³ = 2 * 2 * 2 * 2 * x * x * x. Por lo que los factores 2 * 2 * 2 * 2 * x * x * x, dan como resultado el monomio 16x³.

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El resultado de la factorización siempre será una multiplicación y puede ser una factorización de números enteros o de una expresión algebraica.

Tipos

Los ejemplos visto hasta el momento son sencillos de analizar y resolver, sin embargo, para factorizar expresiones algebraicas más complejas, existen diversos métodos que se explican a continuación.

Factor común

Artículo principal: Factor común.

El método consiste en hallar el factor común de cada uno de los términos de la expresión algebraica, para los coeficientes se halla el Máximo Común Divisor y para las variables se toma la de menor exponente. Una vez hallado el factor común, se divide cada término de la expresión algebraica y el resultado se escribe entre paréntesis. El siguiente ejemplo permitirá comprender el método de factorización por factor común:

6x²y³ + 21x⁴y² + 15x³y⁴

Primero se halla el M.C.D. de los coeficientes 6, 21,15, el cual es 3 y se determinan las variables comunes con su menor exponente, x²y². El factor común de cada término es 3x²y².

Segundo, se divide cada término de la expresión algebraica entre el factor común y los resultados se escriben dentro del paréntesis:

$\frac{6x^2y^3}{3x^2y^2}=2y,\ \ \frac{21x^4y^2}{3x^2y^2}=7x^2,\ \ \frac{15x^3y^4}{3x^2y^2}=5xy^2$

El resultado de la factorización es: $3x^2y^2(2y+7x^2+5xy^2)$ .

Diferencia de cuadrados

Para el método de la diferencia de cuadrados se utiliza la siguiente fórmula:

$a^2-b^2=\left(a+b\right)\ast\left(a-b\right)$

Este debe cumplir con las siguientes condiciones:

Que sean dos binomios.
Que sea una resta.
Que ambos términos sean el cuadro de un número.

Se resuelve hallando la raíz cuadrada de cada término, para formar el producto de dos binomios conjugados.

$a^2-b^2$

$\sqrt a=a$ , $\sqrt b=b$ , se forman los binomios y su conjugada

$\left(a+b\right)\ast\left(a-b\right)$

Suma o diferencia de cubos

Este método está formado por una suma o resta (diferencia) de cubos y se resuelve hallando la raíz cúbica de cada término, para obtener el producto de un binomio por un trinomio, siendo la fórmula:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Trinomio cuadrado perfecto

Para factorizar mediante este método, se usa el producto notable:

${(a\pm b)}^2=a^2\pm2ab+b^2$

Para su aplicación se debe verificar que la expresión algebraica sea un cuadrado perfecto, donde el primer y el tercer término se encuentran elevados al cuadrado y el término del medio, sea el doble del producto de las raíces halladas.

Por ejemplo, se tiene la expresión algebraica: ${4y}^6-{16y}^3+16$ . Se hallan las raíces cuadradas: $\sqrt{{4y}^6}=2y^3$ , $\sqrt{16}=4$ . Se forma el binomio cuadrado.

${4y}^6-{16y}^3+16={(2y^3-4)}^2$

Trinomio de la forma x² + bx + c

Este trinomio siempre es el resultado del producto de dos binomios con un término común.

Para resolver se halla la raíz del término cuadrático (x²), luego se debe encontrar dos números que sumados den el coeficiente del término de primer grado (b) y multiplicados resulte (c). Por último se agrupan los términos.

$x^2+bx+c=\left(x+m\right)\left(x+n\right)$

$(m+n=b)\ \ y\ (m\ast n=c)$

Trinomio de la forma ax²+ bx + c

Para factorizar, la manera sencilla es convertir el trinomio de la forma del caso anterior.

Para esto se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del término cuadrático (a), luego se aplica propiedad distributiva y se resuelve del modo ya estudiado.

${ax}^2+bx+c$ , se multiplica y divide por «a»

$\frac{a\left({ax}^2+bx+c\right)}{a}$

se multiplica (a) por cada término dentro del paréntesis

$\frac{\left(ax\right)^2+b\left(ax\right)+ac}{a}$

luego se hallan dos números que cumpla: $(m + n = b)$ y $(m * n = ac)$ ,

por último $\frac{(ax+m)(ax+n)}{a}$ y se simplifica uno de los dos factores.

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: factorizar el siguiente binomio $144m^6-25$ .

Ver solución

Por ser la resta de dos binomios se puede aplicar el método de “diferencia de cuadrados”, para lo que se halla la raíz cuadrada de cada término.

$\sqrt{144m^6}=12m^3,\ \ \ \sqrt{25}=5$

Luego se forman los binomios conjugados:

$\left(12m^3+5\right)(12m^3-5)$

El resultado de la factorización es:

$144m^6-25=\left(12m^3+5\right)(12m^3-5)$ .

Ejercicio #2

Problema a resolver: factorizar el siguiente trinomio $x^2+12x+32$ .

Ver solución

Por ser de la forma $x^2+bx+c$ , para factorizar se halla $\sqrt{x^2}=x$ . Luego se busca dos números que sumados den como resultado “b” y multiplicados “c”.

Los números serían: 4 y 8, se tiene que: (4) + (8) = 12 y (4) * (8) = 32.

Por tanto factorizando se obtiene:

$x^2+12x+32=(x+4)(x+8)$

Ejercicio #3

Problema a resolver: se tiene el trinomio ${4x}^2+6x-4$ , factorizar utilizando el método que corresponda.

Ver solución

El trinomio es de la forma ${ax}^2+bx+c$ , factorizando se obtiene:

${4x}^2+6x-4$

se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente 4

$\frac{4\left({4x}^2+6x-4\right)}{4}$

se aplica la propiedad distributiva en el numerador

$\frac{\left(4x\right)^2+6\left(4x\right)-(4)(4)}{4}=\frac{\left(4x\right)^2+6\left(4x\right)-16}{4}$

$\frac{\left(4x+8\right)\left(4x-2\right)}{4}\$

simplificando el primer factor dividiéndolo entre 4 se obtiene

$\left(x+2\right)\left(4x-2\right)$

${4x}^2+6x-4=\left(x+2\right)\left(4x-2\right)$

Bibliografía:
Álvarez. R. (2006). Factorización. Universidad de Medellin. Primera edición. Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Cordoba. Universidad Jesuita.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Factorización. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/factorizacion/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 19 de septiembre de 2024.

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