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Números imaginarios

Resultado de la raíz cuadrada de un número negativo.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Se define matemáticamente un número imaginario, como el resultado de la raíz cuadrada de un número negativo. Se debe recordar que la raíz de un número negativo no tiene solución real, pues no existe ningún número real cuyo cuadrado sea un número negativo.

Los números imaginarios se construyen a partir de su base, que es la “unidad imaginaria” y se denota con la letra “i”. Provienen de dar solución a la expresión $\sqrt(-1)$ .

$i=\sqrt(-1),\ por\ lo\ tanto\ i^2=-1\$

Entonces, desde la definición que se tiene, donde $\sqrt{-1}=i$ , un número imaginario, se puede obtener la raíz cuadrada de cualquier número negativo que se tenga, pero se conseguirá “i” en alguna parte de la respuesta.

Dado esto, se puede dar respuesta a casos como: $\sqrt{-2}=i$ , $\sqrt{-81}=9i$ , $\sqrt{-9}=3i$ , $\sqrt{-1}=i$ .

Con estos números, en combinación con el conjunto de los Reales $(\mathbb{R})$ , se forman los números complejos $(\mathbb{C})$ . Por esto los números imaginarios son un subconjunto de los números complejos.

En ocasiones, al resolver raíces cuadradas de números negativos se puede obtener un número real y la unidad imaginaria o también al resolver ecuaciones polinómicas, su resultado puede arrojar un número real en combinación con la unidad imaginaria.

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Por tal razón, al combinar un número real con un número imaginario, se forma un número complejo.

De lo mencionado, radica la importancia y utilidad del subconjunto de los números imaginarios, que son utilizados actualmente en diferentes ramas de la matemática, en física avanzada, mecánica cuántica, ingeniería eléctrica, telecomunicaciones y otras áreas.

Propiedades

Hay una propiedad interesante de “i”, cuando se eleva a diferentes potencias, este pasa por cuatro valores diferentes completando un ciclo. Esto hace que los exponentes de “i” sean fáciles de descifrar.

$i^0=1$ . Todo número elevado al exponente 0, da como resultado el número 1.
$i^1=i$ . Todo número elevado al exponente 1, da como resultado el mismo número.
$i^2=-1$ . Se obtendría de que $i^2={(\sqrt{-1})}^2$ , se aplica propiedad de radicales quedando $i^2=-1$ .
$i^3=-i$ . Se puede descomponer $i^3=i^2\ast i$ , como ya se conocen los resultados de $i^2=-1\$ y de $i=i\longrightarrow\ i^2\ast i=-1\ast i=-i$ .
$i^4=1$ . Se descompone $i^4=i^2\ast i^2$ , conocido el valor de $\i^2$ , se tiene que $i^4=\left(-1\right)\ast\left(-1\right)=1$ .
$i^5=i$ . Al igual que los casos anteriores se puede expresar que $i^5=i^4\ast i$ , conocido cada uno de los valores se obtiene: $i^5=i^4\ast i=1\ast i=i$ .
$i^6=-1$ . Se descompone como $i^6=\ i^4\ast i^2=1\ast\left(-1\right)=-1$ .
$i^7=-i$ . Se expresa como $i^7=i^4\ast i^3\ast i=1\ast(-i)$ .

Se puede observar, que los resultados exponenciales de “i” se repiten cada cuatro valores siendo, 1, i, -1, –i.

Ahora bien, de este ciclo se infiere la siguiente regla:

$i^n=i^r$ , donde “r” es el residuo que se obtiene al dividir “n” entre 4.

Por ejemplo, si se tiene $i^{99}$ , se divide 99 ÷ 4, obteniendo:

99	4
19	24
3
–

El residuo es igual a 3, por lo que $i^{99}=i^3=-i$ , dado que se conoce que $i^3=-i$ . Entonces: $i^{99}=-i$ .

El conocer esta propiedad exponencial de los números imaginarios, permitirá resolver cualquier multiplicación o división de números imaginarios. Dado que estos números, se pueden simplificar como se haría con variables y coeficientes.

Ejemplos

Algunos ejemplos de números imaginarios son:

i	–i	8i	-13i
7i	12i	433i	1i
19i	-2i	23i	-23i
88i	99i	-15i	83i

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: encontrar la raíz cuadrada de -121.

Ver solución

$\sqrt{-121}$ , si se descompone -121 y luego se aplica la propiedad de los radicales: $\sqrt{-a} = \sqrt{-1} * \sqrt{a}$ , se obtiene:

$\sqrt{-121}=\sqrt{\left(-1\right)\ast121}=\sqrt{-1}\ast\sqrt{121}$

Luego, se aplica la propiedad de los números imaginarios donde $\sqrt{-1}=i$ y se saca la raíz cuadrada de 121, la cual es exacta, siendo igual a 11, por lo que se obtiene que:

$\sqrt{-121}=11i$

Ejercicio #2

Problema a resolver: calcular $\sqrt{-50}$ .

Ver solución

Primero se separa (-50) y se aplica la propiedad de los radicando, quedando:

$\sqrt{-50}=\sqrt{\left(-1\right)\ast50}=\sqrt{-1}\ast\sqrt{50}$

Ya se conoce que $\sqrt{-1}=i$ = $=i\sqrt{50}$ .

Se halla la raíz del número 50, la cual no es exacta. Para este caso, se realiza la descomposición en factores primos, para obtener la forma radical simplificada.

	Factor
50	2	50 ÷ 2 = 25
25	5	25 ÷ 5 = 5
5	5	5 ÷ 5 = 1
1

Por lo que se puede expresar que $\sqrt{50}=\sqrt2\ast\sqrt{5^2}$ ,

Simplificando según la propiedad $\sqrt[n]{a^n}=a^{n/n}=a \longrightarrow \sqrt{5^2}=5$ , por lo que queda:

$\sqrt2\ast\sqrt{5^2}=5\sqrt2$

Por tanto:

$\sqrt{-50}=\sqrt{\left(-1\right)\ast50}=\sqrt{-1}\ast\sqrt{50}$

$=\left(i\right)\sqrt{50}\ =\left(i\right)\sqrt2\ast\sqrt{5^2} =5\sqrt2i$

Ejercicio #3

Problema a resolver: $i^{-37}$ .

Ver solución

Aplicando la regla $i^n=i^r$ , se divide -37 ÷ 4, para conocer el valor de “r”.

37	4
5	8
–

$i^{37}=i^5=i$ , dado que se conoce que $i^5=i$

$Entonces: i^{37}=i$ .

Bibliografía:
Benavent, R. C. (bril 2016). Números reales y números complejos (Spanish Edition). Bubok Publishing. Francesca Pensieri, A. A. (1979). Números Complejos (2a ED.). Reverte.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Números imaginarios. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/numeros-imaginarios/). Última edición: marzo 2022. Consultado el 20 de mayo de 2024.

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