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Números irracionales

Aquellos números que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros.

Por

Haude Medina

Tabla de contenidos:

Definición

Los números irracionales, se definen como aquellos números que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros.

Según lo mencionado, los números irracionales, no pueden ser escritos de la forma $\frac{a}{b}$ , donde $a,b\ \in\ \mathbb{Z}\$ y $\ b\neq0$ , por tanto, esta definición, expresa la imposibilidad de representar dicho número como la razón o el cociente de dos enteros.

Si se realiza la división de la fracción, el número irracional se caracteriza por tener su parte decimal infinita, esto los diferencia principalmente de los racionales.

Así, por ejemplo; $\sqrt3=1,73205080\ldots$ , su parte decimal no se expresa ni de manera exacta ni periódica, es infinita, por lo que se puede decir que no hay dos números enteros cuyo cociente sea $\sqrt3$ .

Para denotar el conjunto de los números irracionales se hace con la letra $\mathbb{I}$ y para definir su conjunto se puede decir, que son todos los números reales $\left(\mathbb{R}\right)$ , que no pertenecen a los números racionales $(\mathbb{Q})$ .

$\mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\ \ \ \left\{x\in\mathbb{R}\middle| x\notin\mathbb{Q}\right\}$

Como se puede observar, hay diferentes maneras de definir el conjunto de los números racionales, pero, en resumen, estos números se caracterizan por ser un número decimal infinito periódico.

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Propiedades

El conjunto de los números irracionales también tiene sus propiedades

La división entre 0 no está definida entre los números irracionales.
La suma y la multiplicación entre números irracionales no siempre es otro número irracional. Por ejemplo: $\sqrt{12}\ast\sqrt3=6$ y el 6 no es irracional.
La suma de un número racional más un número irracional, da como resultado un irracional. Sea, $a\in\mathbb{Q}$ , $\ b\ \in\mathbb{I}\ \Rightarrow a+b\ \in\mathbb{I}$ . Como ejemplo se tiene: $\sqrt3+\frac{3}{4}=\frac{4\sqrt3+3}{4}=2,48205\ldots$ .
La resta de un número racional menos un número irracional, da como resultado un irracional. Sea, $a\in\mathbb{Q}$ , $\ b\ \in\mathbb{I}\ \Rightarrow a-b\ \in\mathbb{I}$ . Por ejemplo; $\sqrt5-\frac{1}{3}=\frac{3\sqrt5-1}{3}=1,90273\ldots$ .
La multiplicación de un número racional diferente de cero, por un irracional da como resultado un número irracional. $a\in\mathbb{Q}$ , $\ b\ \in\mathbb{I}\ \Rightarrow a\ast b\ \in\mathbb{I}$ . Se tiene el caso de: $\frac{2}{4}\ast\sqrt8=\frac{2\sqrt8}{4}=1,41421\ldots$ .
La división entre un número racional diferente de cero y un número irracional, el cociente es un número irracional. $a\in\mathbb{Q}$ , $\ b\ \in\mathbb{I}\ \Rightarrow\frac{a}{b}\ \in\mathbb{I}$ . Por ejemplo; $\ \ \frac{2}{4}\div\sqrt3=\frac{1}{2\sqrt3}=0,28867\ldots$ .
El inverso de un número irracional (elevado -1) es otro número irracional. $a\in\mathbb{I}\Rightarrow$ $a^{-1}\ \in\mathbb{I}$ . Se tiene $\sqrt3$ , el inverso $\left(\sqrt3\right)^{-1}=\frac{1}{\sqrt3}=0,57735\ldots$ .
La raíz cuadrada de un número natural no cuadrado perfecto (que no tenga raíz exacta) es un número irracional. Por ejemplo, $\sqrt2$ , $\ \sqrt7\$ . No aplican a esta propiedad, por ejemplo: $\sqrt9$ , $\sqrt{25}$ , $\sqrt{81}\$ , ya que todas son el cuadrado perfecto de un número natural. Para la suma y la multiplicación de números irracionales se cumple la propiedad conmutativa. $a+b=b+a$ , donde $a,b\in\mathbb{I}\$ y para la multiplicación $a\ast b=b\ast a$ , $\ donde\ a,b\in\mathbb{I}$ .
Para la adición y el producto de irracionales se verifica la propiedad asociativa. $\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$ , donde $\ a,b,c\in\mathbb{I}\$ y para la multiplicación $\left(a\ast b\right)\ast c=a\ast(b\ast c)$ , donde $\ a,b,c\in\mathbb{I}$ .

Operaciones

Con los números irracionales también se realizan operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división. Para realizar las diferentes operaciones básicas, se deben considerar algunas de las propiedades antes mencionadas para números irracionales.

Suma o resta de irracionales

Para sumar o restar números irracionales, se puede realizar verificando si sus radicales son semejantes, es decir, que los radicales tengan el mismo índice y la misma cantidad sub radical.

De ser radicales semejantes, se suman o restan los coeficientes, según el caso y se coloca el radical semejante. De ser necesario se simplifica.

Supongamos se desean sumar los siguientes números irracionales: $5\sqrt[2]{8}+3\sqrt[2]{8}$ . Se puede observar que los radicales tienen el mismo índice que es 2 y la misma cantidad subradical, entonces, se suman los coeficientes y se coloca el radical semejante.

$5\sqrt[2]{8}+3\sqrt[2]{8}$

$\left(5+3\right)\sqrt[2]{8}=8\sqrt[2]{8}$

Hasta allí se puede dejar la suma o simplificar el radical, donde $8=2^2\ast2\Rightarrow\sqrt8=\sqrt{2^2\ast2},$ aplicando la ley de exponentes $\sqrt{2^2}\ast\sqrt2$ , entonces

$8\sqrt[2]{8}=8\left(\sqrt{2^2}\ast\sqrt2\right)=8\ast2\sqrt2=16\sqrt2$

En el caso de no tener radicales semejantes, se pueden extraer los factores para obtener radicales semejantes. El proceso mencionado se puede comprender por medio de un ejemplo de una resta de irracionales, que bien el proceso aplica para la suma.

$5\sqrt{12}-3\sqrt3$

Se puede descomponer el sub radical 12 en factores obteniendo:12 = 2² * 3, por tanto:

$5\sqrt{12}=5\sqrt{2^2\ast3}$ , se simplifica y queda: $\ 5\left(2\right)\sqrt3=10\sqrt3\$

Ahora ordenando la operación:

$5\sqrt{12}-3\sqrt3$

$=10\sqrt3-3\sqrt3=\left(10-3\right)\sqrt3=7\sqrt3$

Por último, de no ser posible transformar los radicales en semejantes y a conveniencia, según la aplicación que se le desea dar al resultado de la operación, se pueden expresar cada radical en forma de número decimal aproximado y sumar o restar según el caso. Sea el caso de

$\sqrt3+\sqrt{15}-\sqrt7$

$1,73205\ +3,87298\ -\ 2,6457$

$5,60503\ -\ 2,64575\ =2,95928$

Multiplicación de irracionales

Para multiplicar números irracionales, se puede realizar aplicando la propiedad de radicales para raíces de igual o de diferente índice o simplemente expresar en forma de número decimal cada radical y multiplicar.

Por ejemplo, se tiene la multiplicación: $2\sqrt7\ast5\sqrt{15}=(2\ast5)\sqrt{7\ast15}=10\sqrt{105}$ .

División de irracionales

Al igual que en la multiplicación se procede aplicando la propiedad de radicales, ya sea para raíces de igual o diferente índice y se simplifica de ser posible.

$8\sqrt{10}\div4\sqrt5=\left(\frac{8}{4}\right)\sqrt{\frac{10}{5}}=2\sqrt2$

De las operaciones con números irracionales se tiene que se pueden resolver tratando los números como radicales y aplicando las propiedades de estos o en tal caso, trabajando los irracionales como números decimales.

Ejemplos

Son ejemplos de números irracionales más conocidos:

Pi (π), que es la proporción entre la longitud de la circunferencia y el diámetro de esta. Su valor es siempre 3,141592653589…
Euler (℮): es un número irracional muy conocido, es igual a 2,718281828459…
Razón de oro o número áureo que se representa con la letra griega Phi (φ) y es igual a 1,61803398874…

Ejercicios resueltos

Ejercicio #1

Problema a resolver: resolver las siguiente operación de irracionales: $\sqrt{17}-4\sqrt[3]{4}$ .

Ver solución

Por ser radicales de diferente índice se puede expresar cada raíz como número decimal.

$\sqrt{17}=4,1231\ y\ \sqrt[3]{4}=1,5874$

$=4,1231-\left(4\right)1,5874$

$4,1231-6,3496=-2,2265$

Ejercicio #2

Problema a resolver: resolver las siguiente operación de irracionales $\sqrt5\ast\sqrt[3]{3}$ .

Ver solución

Por ser una multiplicación de radicales de diferente índice primero se halla el m.c.m de los índices 2 y 3 = 6.

Luego, se escriben los radicales cuyo índice ahora será el m.c.m., luego se divide el índice nuevo entre el índice del primer radical y el cociente obtenido será el exponente del subradical.

$\sqrt5\ast\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{5^3}\ast\sqrt[6]{3^2}$

$=\sqrt[6]{5^3\ast3^2}=\sqrt[6]{125\ast9}$

$=\sqrt[6]{1125}$

Expresado en forma de decimal $\sqrt[6]{1125}=3,22475$ .

Bibliografía:
Lancioni, J. D. N. (2012). Introducción a la Matemática. Universidad Católica de Cordoba. Universidad Jesuita. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). Matemática 9° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones. Ministerio de Educación del Ecuador. (2016b). Matemática 10° grado. Libro del estudiante. SMEcuaediciones.

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Acerca del autor:

Haude Medina

Ingeniería Informática (Universidad Rafael Belloso Chacín). Diplomatura en educación universitaria (Universidad José Gregorio Hernández). Magister en gerencia educativa (Universidad Rafael Urdaneta)

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Haude Medina (2022). Números irracionales. Recuperado de Enciclopedia Iberoamericana (https://enciclopediaiberoamericana.com/numeros-irracionales/). Última edición: mayo 2024. Consultado el 20 de mayo de 2024.

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